Statistiques à une variable — caractéristiques de dispersion

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Pour la série constante $4,4,4,4$, la variance vaut :
a) $0$   b) $4$   c) $16$   d) $1$

2) L'étendue d'une série statistique est définie par :
a) $x_{\max}-x_{\min}$   b) la moyenne des écarts à la moyenne   c) la somme des carrés des écarts   d) le carré de l'écart-type

3) La formule simplifiée de la variance est :
a) $\dfrac1n\sum x_i^2-\bar x^2$   b) $\dfrac1n\sum x_i^2+\bar x^2$   c) $\dfrac1n\sum(x_i-\bar x)$   d) $\bar x^2-\dfrac1n\sum x_i^2$

4) Pour la série $3,5,7,9,11$, la moyenne $\bar x$ vaut :
a) $7$   b) $5$   c) $6$   d) $8$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Deux classes de Première C d'un même lycée ont composé le même devoir de mathématiques. Notes de la classe A (sur 5 élèves) : $8,\ 10,\ 10,\ 12,\ 10$. Notes de la classe B (sur 5 élèves) : $4,\ 8,\ 10,\ 12,\ 16$.

Consigne :

1) Vérifier que les deux classes ont la même moyenne.

2) Calculer la variance de chaque classe à l'aide de la formule simplifiée.

3) Le proviseur veut savoir quelle classe est la plus homogène (la moins dispersée), pour décider laquelle nécessite un soutien ciblé. Répondre à sa question en justifiant.

Partie A. Une série statistique de 6 valeurs a pour moyenne $12$ et pour variance $9$.

1) Quel est l'écart-type de cette série ?

2) En utilisant la formule simplifiée de la variance, calculer $\sum x_i^2$ pour cette série.

Partie B. On considère une deuxième série de 6 notes : $6,\ 9,\ 12,\ 12,\ 15,\ 18$.

3) Calculer la moyenne et la variance de cette deuxième série à l'aide de la formule simplifiée.

4) Les deux séries ont-elles la même dispersion ? Laquelle est la plus dispersée ?

Une enquête auprès de 40 élèves d'un lycée donne la durée \(x\) de leur trajet quotidien entre la maison et le lycée, en minutes :

1) Calcule l'étendue et la durée moyenne \(\bar{x}\) de cette série.

2) Calcule l'écart moyen \(e\) de la série et interprète-le.

3) Calcule la variance \(V\) à partir de la définition, puis vérifie le résultat avec la formule \(V=\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2-\bar{x}^2\). Déduis-en l'écart-type \(\sigma\) (arrondi au centième).

4) Détermine le pourcentage d'élèves dont la durée de trajet appartient à l'intervalle \([\bar{x}-\sigma;\bar{x}+\sigma]\).

5) Pendant la saison des pluies, toutes les durées sont multipliées par 1,2. Sans refaire tout le tableau, calcule la nouvelle moyenne, la nouvelle variance et le nouvel écart-type. Justifie ta méthode.

Les notes de cinq élèves à un devoir sont \(3\), \(5\), \(x\), \(y\) et \(13\), avec \(x\lt y\). Le professeur a effacé \(x\) et \(y\) par erreur, mais il sait que la moyenne des cinq notes est 7 et que leur variance est \(11{,}6\).

1) Démontre que \(x+y=14\) et que \((x-7)^2+(y-7)^2=2\).

2) Résous le système obtenu et retrouve les notes \(x\) et \(y\).

3) Calcule l'étendue, l'écart moyen \(e\) et l'écart-type \(\sigma\) de la série (arrondi au millième). Compare \(e\) et \(\sigma\).

4) Un sixième élève, absent, compose plus tard et obtient 7. Calcule la nouvelle moyenne et la nouvelle variance de la série des six notes.

5) Plus généralement, démontre que si l'on ajoute à une série de \(N\) valeurs, de moyenne \(\bar{x}\) et de variance \(V\gt 0\), une valeur égale à \(\bar{x}\), la moyenne ne change pas et la nouvelle variance vaut \(\dfrac{N}{N+1}V\). Interprète.

Une étude porte sur la consommation journalière d'eau de 50 ménages d'un quartier, en litres :

On remplace chaque classe par son centre.

1) Donne les centres des classes et l'étendue de la série, puis calcule la consommation moyenne \(\bar{x}\).

2) Calcule la variance \(V\) de deux façons et l'écart-type \(\sigma\) (arrondi au centième).

3) Calcule l'écart moyen \(e\) et vérifie que \(e\lt\sigma\).

4) Une campagne de sensibilisation conduit chaque ménage à réduire sa consommation de 10 %. Détermine la nouvelle moyenne, la nouvelle variance et le nouvel écart-type, en justifiant.

5) Dans un second quartier, la consommation moyenne est de 90 L avec un écart-type de 18 L. En comparant le rapport \(\dfrac{\sigma}{\bar{x}}\) des deux quartiers (avant la campagne), dis lequel a les consommations les plus homogènes. Justifie pourquoi il ne suffit pas de comparer les écarts-types.

On considère la série statistique suivante :

Pour tout réel \(t\), on pose \(f(t)=\dfrac{1}{10}\sum n_i(x_i-t)^2\), moyenne des carrés des écarts entre les valeurs et le nombre \(t\).

1) Calcule l'étendue et la moyenne \(\bar{x}\) de la série.

2) Démontre que \(f(t)=t^2-10t+30\).

3) Étudie les variations de \(f\) à l'aide de sa dérivée. Démontre que \(f\) atteint son minimum en \(t=\bar{x}\), puis interprète ce minimum : que représente-t-il pour la série ?

4) Déduis-en l'écart-type \(\sigma\). Calcule l'écart moyen \(e\) et compare-le à \(\sigma\).

5) À la suite d'une erreur de saisie, la valeur 10 est remplacée par 20. Calcule la nouvelle moyenne, la nouvelle variance et le nouvel écart-type. Que peux-tu dire de la sensibilité de la variance à une valeur extrême ?