Première E · Leçon 1
Applications : injection, surjection, bijection
Applications : injection, surjection, bijection
Soit \(f:E\to F\) une application. \(f\) est injective si deux éléments distincts de \(E\) ont toujours des images distinctes. \(f\) est surjective si tout élément de \(F\) admet au moins un antécédent dans \(E\). \(f\) est bijective si elle est à la fois injective et surjective : tout élément de \(F\) admet alors exactement un antécédent, ce qui définit l'application réciproque \(f^{-1}:F\to E\).
Le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=\lambda\) est directement lié à la nature de \(f\) : au plus une solution si \(f\) est injective, au moins une si \(f\) est surjective, exactement une si \(f\) est bijective — ce qui se lit aussi bien par le calcul que sur le graphique (nombre de points d'intersection avec la droite horizontale \(y=\lambda\)).
\(f(x)=x^2\) définie sur \(\mathbb R\) n'est ni injective (\(f(-1)=f(1)=1\)) ni surjective sur \(\mathbb R\) (aucun antécédent pour les valeurs négatives). En revanche, restreinte à \([0;+\infty[\) au départ et à l'arrivée, \(f\) devient bijective : sa réciproque est \(f^{-1}(x)=\sqrt x\).
Figure — \(f(x)=x^2\) et sa réciproque \(f^{-1}(x)=\sqrt x\) sur \([0;+\infty[\)
Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\) (pointillée) : c'est toujours le cas pour une bijection et sa réciproque.
- Pour conclure que \(f\) est bijective, il faut vérifier à la fois l'injectivité et la surjectivité — démontrer l'une sans l'autre ne suffit pas.
- Le nombre de solutions de \(f(x)=\lambda\) se lit graphiquement par le nombre de points d'intersection avec la droite horizontale \(y=\lambda\), pas verticale.
Composition d'applications et de fonctions
Si \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\), la composée \(g\circ f:E\to G\) est définie par \((g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)\). En général, \(g\circ f\neq f\circ g\).
Soit \(f(x)=3x-1\) et \(g(x)=x^2+2\).
\[ (g\circ f)(x)=g(3x-1)=(3x-1)^2+2=9x^2-6x+3, \] \[ (f\circ g)(x)=f(x^2+2)=3(x^2+2)-1=3x^2+5. \]On vérifie bien que \(g\circ f\neq f\circ g\).
Résumé
Éléments distincts ⟹ images distinctes.
Tout élément de l'arrivée a au moins un antécédent.
Injective et surjective ⟹ réciproque \(f^{-1}\) définie.
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\), en général \(\neq f\circ g\).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2-4\). \(f\) est-elle injective ? surjective ? Justifier.
Non injective : \(f(-1)=f(1)=-3\). Non surjective sur \(\mathbb R\) : \(f\) admet un minimum \(-4\), donc aucune valeur inférieure à \(-4\) n'a d'antécédent.
Question 2. Soit \(f(x)=2x-3\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer sa réciproque.
\(f\) est affine de coefficient directeur non nul : elle est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). En posant \(y=2x-3\), on obtient \(x=\dfrac{y+3}2\), donc \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}2\).
Question 3. Soit \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=2x^2\). Calculer \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\).
\((g\circ f)(x)=2(x+1)^2=2x^2+4x+2\). \((f\circ g)(x)=2x^2+1\).