Première E · Leçon 7
Bases orthonormées et angle de deux vecteurs
Bases orthonormées directes et angle orienté de deux vecteurs
Étant donné un vecteur unitaire \(\vec\imath\), il existe un seul vecteur unitaire \(\vec\jmath\) tel que \((\vec\imath,\vec\jmath)\) soit une base orthonormée directe (obtenu par rotation de \(+90°\)). Pour deux vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) donnés par leurs coordonnées dans une base orthonormée directe :
\[ \cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}, \qquad \sin\theta=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}, \]où \(\theta=(\vec u,\vec v)\) est l'angle orienté des deux vecteurs et \(\det(\vec u,\vec v)=x_uy_v-y_ux_v\).
\(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec u,\vec v)=0\) (angle \(0\) ou \(\pi\)). Ils sont orthogonaux si et seulement si \(\vec u\cdot\vec v=0\) (angle \(\pm\dfrac\pi2\)). Aussi, si \(\vec u'\) est colinéaire à \(\vec u\) et \(\vec v'\) colinéaire à \(\vec v\) (même sens), l'angle double \(2(\vec u',\vec v')=2(\vec u,\vec v)\) : seul l'angle « doublé » est conservé, pas l'angle lui-même si l'un des deux sens est inversé.
Soit \(\vec u(3;4)\) et \(\vec v(4;-3)\). \(\vec u\cdot\vec v=3\times4+4\times(-3)=12-12=0\) : les deux vecteurs sont orthogonaux. On vérifie : \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=5\), \(\det(\vec u,\vec v)=3\times(-3)-4\times4=-25\), donc \(\sin\theta=\dfrac{-25}{25}=-1\) : \(\theta=-\dfrac\pi2\), cohérent avec l'orthogonalité.
Figure — \(\vec u(3;4)\) et \(\vec v(4;-3)\), orthogonaux
Les deux vecteurs, tous deux de norme \(5\), forment un angle droit — conforme au produit scalaire nul.
- L'angle orienté \((\vec u,\vec v)\) n'est pas égal à \((\vec v,\vec u)\) : leur sinus est opposé — l'ordre des deux vecteurs compte.
- \(\det(\vec u,\vec v)=0\) donne la colinéarité, alors que \(\vec u\cdot\vec v=0\) donne l'orthogonalité — les deux conditions sont faciles à confondre car elles se calculent de façon très similaire.
Résumé
\(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\), \(\sin\theta=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\).
\(\det(\vec u,\vec v)=0\).
\(\vec u\cdot\vec v=0\).
Un seul \(\vec\jmath\) unitaire pour \(\vec\imath\) donné.
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(\vec u(5;12)\) et \(\vec v(12;-5)\). Montrer que \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux.
\(\vec u\cdot\vec v=5\times12+12\times(-5)=60-60=0\) : orthogonaux.
Question 2. Soit \(\vec u(6;9)\) et \(\vec v(4;6)\). Montrer que \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.
\(\det(\vec u,\vec v)=6\times6-9\times4=36-36=0\) : colinéaires (en effet \(\vec u=\dfrac32\vec v\)).
Question 3. Soit \(\vec u(1;0)\) et \(\vec v(0;1)\). Calculer \(\cos(\vec u,\vec v)\) et \(\sin(\vec u,\vec v)\).
\(\vec u\cdot\vec v=0\), \(\det(\vec u,\vec v)=1\). \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=1\), donc \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=1\) : \(\theta=\dfrac\pi2\).