Première E · Leçon 16
Vecteurs, repères, droites et plans de l'espace
Vecteurs et repères de l'espace, coplanarité
Les vecteurs de l'espace se manipulent exactement comme dans le plan : addition (règle du parallélogramme), multiplication par un réel, relation de Chasles \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Rien de nouveau dans les propriétés — seule la troisième dimension s'ajoute.
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\) (ou l'un des deux est nul). Un vecteur \(\vec u\) est vecteur directeur d'une droite \(D\) si \(D\) est dirigée par \(\vec u\) : deux points \(A,B\) de \(D\) vérifient \(\overrightarrow{AB}\) colinéaire à \(\vec u\).
Trois vecteurs \(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires s'il existe trois réels \(a,b,c\) non tous nuls tels que \(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0\) (résultat admis). Concrètement : l'un des trois s'exprime comme combinaison des deux autres. Un plan \(P\) admet deux vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) non colinéaires : tout vecteur de \(P\) est alors coplanaire avec \(\vec u,\vec v\).
\(\vec u(1;0;1)\), \(\vec v(0;1;1)\), \(\vec w(2;1;3)\). Cherchons \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) : \(2=a\), \(1=b\), \(3=a+b=2+1=3\) ✓. Les trois composantes sont cohérentes : \(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires (\(\vec w=2\vec u+\vec v\)).
Une base de l'espace est un triplet \((\vec i,\vec j,\vec k)\) de vecteurs non coplanaires. Dans une telle base, tout vecteur \(\vec u\) se décompose de façon unique : \(\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k\), et l'on note \(\vec u(x;y;z)\). Un repère de l'espace est la donnée d'un point \(O\) (l'origine) et d'une base \((\vec i,\vec j,\vec k)\) ; un point \(M\) a pour coordonnées \((x;y;z)\) celles du vecteur \(\overrightarrow{OM}\).
Figure — Représentation en perspective cavalière d'un repère \((O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\)
L'axe \((Oy)\) est dessiné en oblique pour suggérer la profondeur — convention usuelle de la perspective cavalière utilisée dans toutes les figures de ce chapitre.
Droites et plans de l'espace : représentations, positions relatives, intersections
La droite \(D\) passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) et dirigée par \(\vec u(a;b;c)\) admet pour représentation paramétrique, \(t\in\mathbb R\) :
\[ \begin{cases} x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z=z_A+tc \end{cases} \]Chaque valeur de \(t\) donne un point de \(D\) ; \(t=0\) redonne \(A\).
Droite \(D\) passant par \(A(1;-2;3)\), dirigée par \(\vec u(2;1;-1)\) : \(x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=3-t\). Pour \(t=1\) : le point \((3;-1;2)\) appartient à \(D\).
Le plan \(P\) passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\), de vecteurs directeurs \(\vec u(a_1;b_1;c_1)\) et \(\vec v(a_2;b_2;c_2)\) non colinéaires, admet pour représentation paramétrique, \((t,t')\in\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} x=x_A+ta_1+t'a_2 \\ y=y_A+tb_1+t'b_2 \\ z=z_A+tc_1+t'c_2 \end{cases} \]\(P\) admet aussi une équation cartésienne de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\), où \((\alpha;\beta;\gamma)\neq(0;0;0)\). Un point \(M(x;y;z)\) appartient à \(P\) si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.
Plan \(P:\ 2x-y+3z-4=0\). Le point \(M(1;0;\tfrac23)\) : on remplace, \(2(1)-0+3(\tfrac23)-4=2+2-4=0\) ✓ : \(M\in P\). Le point \(N(1;1;1)\) : \(2-1+3-4=0\) ✓ : \(N\in P\) également.
Une droite et un plan sont soit sécants (un seul point commun), soit parallèles — la droite est alors incluse dans le plan ou strictement en dehors. Deux plans sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles (confondus ou disjoints). Une projection sur un plan parallèlement à une droite (ou sur une droite parallèlement à un plan) conserve l'équipollence des bipoints, le parallélisme, l'alignement et les milieux.
- Deux droites de l'espace qui ne sont pas parallèles ne sont pas forcément sécantes : elles peuvent être non coplanaires (« gauches »), cas qui n'existe pas dans le plan.
- Pour qu'une droite soit incluse dans un plan, il ne suffit pas qu'elle lui soit parallèle : il faut en plus qu'un de ses points appartienne au plan.
Deux droites de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) sont orthogonales si \(\vec u\cdot\vec v=0\) (même si elles ne se coupent pas — cas des droites gauches orthogonales). Une droite de vecteur directeur \(\vec u\) est orthogonale à un plan \(P\) si \(\vec u\) est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) — elle l'est alors à tout vecteur de \(P\).
Un vecteur \(\vec n\) est normal au plan \(P\) s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) (donc à toute droite de \(P\)). Le plan \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\) admet \(\vec n(\alpha;\beta;\gamma)\) pour vecteur normal — lecture directe sur l'équation. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
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Voir les offresFigure — Plan \(P\) et son vecteur normal \(\vec n\)
\(\vec n\) est orthogonal à toute droite tracée dans le plan \(P\), quelle que soit sa direction.
Résultat admis. Un angle droit se projette orthogonalement sur un plan suivant un angle droit si et seulement si l'un au moins de ses côtés est parallèle au plan de projection. Sans cette condition, l'angle projeté peut être quelconque — c'est un piège classique en représentation en perspective.
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Voir les offresRésumé
\(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0\) avec \(a,b,c\) non tous nuls.
\((x_A+ta,\ y_A+tb,\ z_A+tc)\), point + vecteur directeur.
Paramétrique (point + 2 vecteurs) ou cartésienne \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\).
Non parallèles et non sécantes — spécifique à l'espace.
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Voir les offresSujet type devoir
Question 1. Donner une représentation paramétrique de la droite \(D\) passant par \(A(0;1;2)\) et \(B(3;-1;1)\).
\(\overrightarrow{AB}(3;-2;-1)\) dirige \(D\) : \(x=3t,\ y=1-2t,\ z=2-t\), \(t\in\mathbb R\).
Question 2. Le point \(C(1;1;2)\) appartient-il au plan \(P:\ x+2y-z-1=0\) ?
\(1+2(1)-2-1=1+2-2-1=0\) ✓ : \(C\in P\).
Question 3. Les vecteurs \(\vec u(1;1;0)\), \(\vec v(0;1;1)\), \(\vec w(2;4;2)\) sont-ils coplanaires ?
Cherchons \(a,b\) : \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) donne \(2=a\), \(4=a+b\Rightarrow b=2\), \(2=b=2\) ✓. Cohérent sur les trois coordonnées : oui, coplanaires (\(\vec w=2\vec u+2\vec v\)).
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