Première E · Leçon 21

Statistiques à une variable — caractéristiques de dispersion

Paramètres de dispersion : étendue, écart moyen, variance, écart-type

Rappel — caractéristiques de position (vues en Seconde)

La moyenne \(\bar x\) et la médiane résument où se situe une série, mais deux séries peuvent avoir la même moyenne tout en étant très différentes : l'une resserrée autour de \(\bar x\), l'autre très dispersée. Les caractéristiques de dispersion mesurent cet écalement.

Exemple introductif

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Étendue \[ \text{Étendue}=x_{\max}-x_{\min}. \]

Simple et rapide à calculer, mais très sensible aux valeurs extrêmes (une seule valeur aberrante suffit à la fausser).

Écart-moyen

Pour une série de \(n\) valeurs \(x_1,\dots,x_n\) de moyenne \(\bar x\), l' écart-moyen est la moyenne des écarts (en valeur absolue) à la moyenne :

\[ e=\frac1n\sum_{i=1}^{n}|x_i-\bar x|. \]

Variance et écart-type

La variance \(V\) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne (préférée à l'écart-moyen car plus maniable algébriquement) :

\[ V=\frac1n\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2. \]

L'écart-type \(\sigma=\sqrt V\) ramène cette mesure à la même unité que les données (la variance est en unité au carré).

Formule simplifiée de la variance \[ V=\left(\frac1n\sum_{i=1}^n x_i^2\right)-\bar x^{\,2}. \]

« Moyenne des carrés moins carré de la moyenne » — en pratique bien plus rapide à calculer à la main ou à la calculatrice que la formule de définition, car elle ne demande qu'un seul passage sur les données une fois \(\bar x\) connue.

Méthode — calculer \(V\) et \(\sigma\) pour la série 2

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Figure — Deux séries de même moyenne \(\bar x=10\), écart-types très différents

Série 1 (haut, resserrée, \(\sigma\approx0{,}71\)) contre série 2 (bas, dispersée, \(\sigma\approx5{,}83\)) — même moyenne, dispersions très différentes.

Piège fréquent

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