Première E · Leçon 19
Cardinal d'un ensemble fini
Langage des ensembles (inclusion, réunion, intersection, complémentaire)
Pour un ensemble fini \(E\), on note \(\mathrm{Card}(E)\) (ou \(|E|\)) son cardinal, le nombre de ses éléments. \(A\cup B\) est la réunion (éléments de \(A\) ou de \(B\)), \(A\cap B\) l'intersection (éléments communs), \(\overline A\) le complémentaire de \(A\) dans \(E\). Une partition de \(E\) est une famille de parties non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion est \(E\).
Si \(A\) et \(B\) sont disjoints (\(A\cap B=\varnothing\)) : \(\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)\). On soustrait le cardinal de l'intersection pour ne pas compter deux fois les éléments communs.
Dans un lycée, 120 élèves font des maths renforcées, 80 font de la physique renforcée, et 35 font les deux. Combien suivent au moins l'une des deux options ?
\[ \mathrm{Card}(A\cup B)=120+80-35=165\ \text{élèves}. \]Figure — Diagramme de Venn de l'exemple ci-dessus
\(120+80-35=165\) : la zone commune (35) n'est comptée qu'une seule fois.
Produit cartésien, parties d'un ensemble et p-uplets
\(A\times B\) est l'ensemble des couples \((a,b)\) avec \(a\in A\), \(b\in B\) : pour chaque choix de \(a\) (\(\mathrm{Card}(A)\) possibilités), il y a \(\mathrm{Card}(B)\) choix pour \(b\).
Un menu propose 4 entrées et 6 plats. Le nombre de menus (entrée, plat) possibles : \(4\times6=24\).
Si \(\mathrm{Card}(E)=n\), l'ensemble \(\mathcal P(E)\) des parties de \(E\) (y compris \(\varnothing\) et \(E\) lui-même) a pour cardinal \(\mathrm{Card}(\mathcal P(E))=2^n\) — chaque élément de \(E\) est soit dans la partie, soit hors d'elle, indépendamment (2 choix par élément, \(n\) éléments). L'ensemble \(E^p\) des \(p\)-uplets d'éléments de \(E\) (avec répétition possible) a pour cardinal \(\mathrm{Card}(E^p)=n^p\).
\(E=\{a,b,c\}\) : \(\mathrm{Card}(\mathcal P(E))=2^3=8\) parties (dont \(\varnothing\) et \(E\)). Un code à 4 chiffres (chiffres \(0\) à \(9\), répétitions autorisées) : \(\mathrm{Card}(\{0,\dots,9\}^4)=10^4=10\,000\) codes possibles.
- Ne pas oublier de soustraire \(\mathrm{Card}(A\cap B)\) dans une réunion — l'erreur la plus fréquente consiste à additionner sans corriger le double-comptage.
- \(2^n\) compte les parties (sous-ensembles), \(n^p\) compte les \(p\)-uplets (listes ordonnées avec répétition) — deux notions très différentes à ne pas confondre.
Résumé
\(\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}A+\mathrm{Card}B-\mathrm{Card}(A\cap B)\).
\(\mathrm{Card}(A\times B)=\mathrm{Card}A\times\mathrm{Card}B\).
\(\mathrm{Card}(\mathcal P(E))=2^n\).
\(\mathrm{Card}(E^p)=n^p\).
Sujet type devoir
Question 1. Sur 200 élèves, 130 aiment les maths, 90 aiment la physique, 45 aiment les deux. Combien n'aiment ni l'une ni l'autre ?
\(\mathrm{Card}(A\cup B)=130+90-45=175\). Aucune des deux : \(200-175=25\) élèves.
Question 2. Une plaque d'immatriculation est formée de 3 lettres (parmi 26) suivies de 4 chiffres (parmi 10), toutes répétitions autorisées. Combien de plaques distinctes ?
\(26^3\times10^4=17\,576\times10\,000=175\,760\,000\) plaques.
Question 3. Combien l'ensemble \(\{1,2,3,4,5\}\) a-t-il de parties de cardinal quelconque ? Combien de parties non vides ?
\(2^5=32\) parties en tout ; \(32-1=31\) parties non vides (on retire \(\varnothing\)).