Première E · Leçon 5

Comportement global et raisonnement par récurrence

Suites monotones, majorées, minorées, bornées

Vocabulaire

\((u_n)\) est majorée par \(M\) si \(u_n\leqslant M\) pour tout \(n\) ; minorée par \(m\) si \(u_n\geqslant m\) pour tout \(n\). Elle est croissante si \(u_{n+1}\geqslant u_n\), décroissante si \(u_{n+1}\leqslant u_n\), périodique de période \(p\) si \(u_{n+p}=u_n\) pour tout \(n\).

Exemple — majoration

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Figure — \(v_n=\dfrac n{n+1}\), majorée par \(1\)

Les termes se rapprochent de \(1\) sans jamais l'atteindre : \(1\) est un majorant de la suite.

Raisonnement par récurrence

Les trois étapes

Pour démontrer par récurrence qu'une propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n\geqslant n_0\), il suffit de montrer :

a) Initialisation. \(P(n_0)\) est vraie.
b) Hérédité. Pour un entier \(n\geqslant n_0\) quelconque, \(P(n)\) implique \(P(n+1)\).
c) Conclusion. \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\geqslant n_0\).

Exemple fil rouge — démonstration complète

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