Première E · Leçon 18
Sphère, distance et surfaces de niveau
Sphère : équation, sections planes, plan tangent
La sphère de centre \(\Omega(x_0;y_0;z_0)\) et de rayon \(R>0\) est l'ensemble des points \(M(x;y;z)\) tels que \(\Omega M=R\), soit :
\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2. \]Soit \(P\) un plan et \(d\) la distance du centre \(\Omega\) à \(P\) :
• si \(d<R\), \(P\) coupe la sphère selon un cercle de
rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\) (plan sécant) ;
• si \(d=R\), \(P\) est tangent à la sphère en un unique point
\(T\), et le rayon \(\Omega T\) est alors orthogonal à \(P\) (\(\vec{\Omega T}\)
en est un vecteur normal) ;
• si \(d>R\), \(P\) est extérieur à la sphère.
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Voir les offresFigure interactive — Coupe d'une sphère de rayon 10 par un plan à distance \(d\)
Faites glisser \(d\) : sécant si \(d<10\), tangent si \(d=10\), extérieur si \(d>10\).
Distance d'un point à un plan, projeté orthogonal
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Voir les offresUne surface de niveau est l'ensemble des points \(M\) vérifiant une condition donnée. Trois exemples classiques, pour \(\vec u\) vecteur non nul donné et \(a,b,c\) réels donnés :
• \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec u=a\) : un plan orthogonal à
\(\vec u\) ;
• \(MA^2+MB^2=b\) : une sphère de centre le milieu de
\([AB]\) (à condition que \(b\) soit assez grand) ;
• \(MA^2-MB^2=c\) : un plan orthogonal à \((AB)\).
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