Première E · Leçon 6

Limites d'une suite

Limite d'une suite, convergence, limites usuelles

Deux comportements de référence

Les suites de terme général \(n\), \(n^2\), \(n^3\) tendent vers \(+\infty\) : on note \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\). Les suites de terme général \(\dfrac1n\), \(\dfrac1{n^2}\), \(\dfrac1{\sqrt n}\) tendent vers \(0\) : on note \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=L\) (ici \(L=0\)). L'unicité de la limite est admise.

Cas d'une suite géométrique (admis)

Pour \(u_n=k^n\) avec \(k>0\) :

• si \(0\leqslant k<1\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}k^n=0\) ;
• si \(k>1\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}k^n=+\infty\).

Exemple

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Figure — \((0{,}5)^n\to0\) contre \((1{,}5)^n\to+\infty\)

Même point de départ (\(k^0=1\)), comportements opposés selon que \(k<1\) ou \(k>1\).

Résultats admis

Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de suites s'obtiennent en combinant les limites de chaque suite (sauf formes indéterminées, hors programme).

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