Première E · Leçon 11

Dérivation en un point et sur un intervalle

Nombre dérivé, tangente et approximation affine

Nombre dérivé \[ f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h. \]

Équation de la tangente au point d'abscisse \(a\) : \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\). Approximations affines usuelles au voisinage de \(0\) : \((1+x)^n\approx1+nx\) pour \(n\in\{-1,\frac12,2,3\}\).

Exemple — calcul direct par le taux de variation

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Dérivées usuelles et règles de calcul

Dérivées usuelles

Fonction	Dérivée
\(x^n\) (\(n\in\mathbb Z^*\))	\(nx^{n-1}\)
\(\sqrt x\)	\(\dfrac1{2\sqrt x}\)
\(\sin(ax+b)\)	\(a\cos(ax+b)\)
\(\cos(ax+b)\)	\(-a\sin(ax+b)\)
\(\tan(ax+b)\)	\(\dfrac a{\cos^2(ax+b)}\)
\(f(ax+b)\)	\(a\,f'(ax+b)\)

Règles de calcul

\((u+v)'=u'+v'\) ; \((\lambda u)'=\lambda u'\) ; \((uv)'=u'v+uv'\) ; \(\left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}\) ; \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\).

Exemple fil rouge — dérivée et tangente

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Figure interactive — Tangente en un point mobile de la courbe

Faites glisser le point \(P\) le long de la courbe : la tangente et la valeur de \(m'(a)\) se mettent à jour en temps réel.