Rotations

Muni de la composition, l'ensemble des rotations de centre \(\Omega\) fixé forme un groupe (neutre : angle \(0°\) ; stable et inversible : ci-dessus ; associatif). Contrairement au groupe des homothéties-translations (chapitre 1), ce groupe est commutatif : \(\theta_1+\theta_2=\theta_2+\theta_1\), donc \(r_2\circ r_1=r_1\circ r_2\).

Si \((D_1)\parallel(D_2)\), la composée \(s_{D_2}\circ s_{D_1}\) est la translation de vecteur \(2\vec u\), où \(\vec u\) est le vecteur perpendiculaire commun allant de \((D_1)\) vers \((D_2)\). Réciproquement, toute translation de vecteur \(\vec w\) se décompose en un produit de deux réflexions d'axes perpendiculaires à \(\vec w\), distants de \(\dfrac{\lVert\vec w\rVert}2\).

Si \((D_1)\) et \((D_2)\) se coupent en \(\Omega\), en notant \(\theta\) l'angle orienté de \((D_1)\) vers \((D_2)\), la composée \(s_{D_2}\circ s_{D_1}\) est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(2\theta\).

Toute rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) se décompose en un produit \(s_{D_2}\circ s_{D_1}\) de deux réflexions d'axes passant par \(\Omega\), où \((D_1)\) est une droite quelconque passant par \(\Omega\) et \((D_2)\) fait avec \((D_1)\) un angle orienté \(\dfrac\theta2\). Ce résultat est la réciproque exacte du théorème du chapitre 2 sur la composée de deux réflexions d'axes sécants.

Toute isométrie du plan qui fixe un point \(\Omega\) est soit une rotation de centre \(\Omega\) (l'identité étant le cas particulier d'angle \(0°\)), soit une réflexion d'axe passant par \(\Omega\). Ces deux familles épuisent donc, à elles seules, toutes les isométries fixant un point donné.