Première E · Leçon 4
Génération, suites arithmétiques et géométriques
Suites : définition, modes de génération
Une suite \((u_n)\) associe à chaque indice (ou rang) \(n\in\mathbb N\) un terme \(u_n\). On distingue :
• \(u_n=f(n)\), pour une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb N\) ;
• une suite définie par récurrence : \(u_0\) donné, et
\(u_{n+1}=f(u_n)\).
Soit \(u_0=2\) et, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=2u_n-1\). Calcul de proche en proche :
\[ u_1=2\times2-1=3,\quad u_2=2\times3-1=5,\quad u_3=2\times5-1=9,\quad u_4=2\times9-1=17. \]On observera au chapitre suivant, par un raisonnement rigoureux, que \(u_n=2^n+1\) pour tout \(n\).
Figure — Nuage de points de la suite \(u_0=2\), \(u_{n+1}=2u_n-1\)
La croissance s'accélère nettement : chaque terme est proche du double du précédent.
- La somme \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) compte \(n+1\) termes, pas \(n\) — une erreur fréquente est d'utiliser \(n\) dans la formule au lieu de \(n+1\).
- Une suite géométrique de raison négative change de signe à chaque terme : elle n'est ni croissante ni décroissante, contrairement à une suite arithmétique de raison négative, qui elle est toujours décroissante.
Suites arithmétiques : terme général et somme
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(a\) si \(u_{n+1}=u_n+a\) : \(u_p=u_0+pa\). \((u_n)\) est géométrique de raison \(b\) si \(u_{n+1}=b\,u_n\) : \(u_p=u_0\,b^p\). En notant \(\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^nu_k\) (somme des \(n+1\) premiers termes) :
\[ \text{arithmétique : } S_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}2, \qquad \text{géométrique } (b\neq1) \text{ : } S_n=u_0\dfrac{b^{n+1}-1}{b-1}. \]Cas particuliers (premier terme \(1\)) :
\[ 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2, \qquad 1+b+b^2+\cdots+b^n=\dfrac{b^{n+1}-1}{b-1}. \]Arithmétique. \(u_0=4\), \(a=5\) : \(u_{10}=4+50=54\). \(S_{10}=11\times\dfrac{4+54}2=11\times29=319\).
Géométrique. \(u_0=3\), \(b=2\) : \(u_6=3\times64=192\). \(S_6=3\times\dfrac{2^7-1}{2-1}=3\times127=381\).
Résumé
\(u_n=f(n)\), ou récurrence \(u_0\) + \(u_{n+1}=f(u_n)\).
\(u_p=u_0+pa\) ; \(S_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}2\).
\(u_p=u_0b^p\) ; \(S_n=u_0\dfrac{b^{n+1}-1}{b-1}\).
\(1+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2\) ; \(1+b+\cdots+b^n=\dfrac{b^{n+1}-1}{b-1}\).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(f(x)=2x+3\) et \(u_n=f(n)\). Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_4\).
\(u_0=3\), \(u_1=5\), \(u_4=11\).
Question 2. Une suite arithmétique a pour premier terme \(u_0=7\) et pour raison \(a=-2\). Calculer \(u_{15}\) et \(S_{15}\).
\(u_{15}=7-30=-23\). \(S_{15}=16\times\dfrac{7+(-23)}2=16\times(-8)=-128\).
Question 3. Une suite géométrique a pour premier terme \(u_0=5\) et pour raison \(b=3\). Calculer \(u_4\) et \(S_4\).
\(u_4=5\times81=405\). \(S_4=5\times\dfrac{3^5-1}{3-1}=5\times121=605\).