Rotations

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La réflexion $s$ d'axe $(Ox)$ a pour réciproque :
a) $s$ elle-même   b) la réflexion d'axe $(Oy)$   c) l'identité   d) une translation

2) $s$ d'axe $(Ox)$. L'image de $M(7;-3)$ est :
a) $(7;3)$   b) $(-7;-3)$   c) $(-7;3)$   d) $(3;7)$

3) Si $(D_1)\parallel(D_2)$, la composée $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ est :
a) une rotation   b) une translation   c) une homothétie   d) une réflexion

4) Une réflexion transforme l'angle orienté $(\vec u,\vec v)$ en :
a) $(\vec u,\vec v)$   b) $-(\vec u,\vec v)$   c) $2(\vec u,\vec v)$   d) $\dfrac{(\vec u,\vec v)}2$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $r_1$ : rotation de centre $O$, angle $40°$. La réciproque de $r_1$ est :
a) rotation centre $O$ angle $40°$   b) rotation centre $O$ angle $-40°$   c) rotation centre $O$ angle $140°$   d) une translation

2) $r_1$ angle $70°$, $r_2$ angle $110°$, même centre $O$. $r_2\circ r_1$ est :
a) rotation angle $40°$   b) rotation angle $180°$   c) rotation angle $-40°$   d) une homothétie

3) Le groupe des rotations de centre $\Omega$ fixé, muni de la composition, est :
a) non commutatif   b) commutatif   c) non stable   d) sans élément neutre

4) Toute isométrie du plan qui fixe un point $\Omega$ est :
a) toujours une translation   b) une rotation ou une réflexion   c) toujours une homothétie   d) toujours l'identité

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un architecte conçoit la façade symétrique d'un bâtiment administratif. L'axe de symétrie de la façade correspond à la droite $(D)$ : $x=6$ (mètres, repère orthonormé lié au plan). Une fenêtre $F$ est positionnée en $(2;3)$.

Consigne : Déterminer les coordonnées de la fenêtre $F'$ à placer pour respecter la symétrie de la façade par rapport à $(D)$, puis vérifier que la distance de $F$ à $(D)$ est bien égale à la distance de $F'$ à $(D)$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une grande roue foraine installée lors de la foire tourne autour de son centre $O$. Une nacelle part de la position $A(0;15)$ (mètres, $O$ étant le centre de la roue), et la roue effectue une rotation de $150°$ (sens direct) entre deux arrêts.

Consigne : Déterminer les coordonnées de la nouvelle position $A'$ de la nacelle après cette rotation (arrondies au centième de mètre), puis vérifier que la distance de $A'$ au centre $O$ est bien restée égale à $15$ m.

Problème — Un artisan orne une grille en fer forgé à l'aide des deux réflexions $(D_1)=(Ox)$ et $(D_2)$ : $y=x$.

Partie A. Donner l'expression analytique de $s_{D_1}$ et de $s_{D_2}$.

Partie B. Soit $M(4;1)$. 1) Calculer $s_{D_1}(M)$. 2) Calculer $s_{D_2}(s_{D_1}(M))$. 3) Quelle est la nature de $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ ? Vérifier que le résultat du 2) est cohérent avec cette nature.

Partie C. Le fabricant veut orner un second point $N(0;3)$ avec la même transformation composée. Calculer l'image de $N$ par $s_{D_2}\circ s_{D_1}$.

Problème — Un ingénieur souhaite décomposer la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $130°$ en un produit de deux réflexions d'axes passant par $O$.

Partie A. Donner un couple d'axes $(D_1),(D_2)$ possible (préciser l'angle de chaque axe par rapport à $(Ox)$).

Partie B. Vérifier ce résultat sur le point $A(5;0)$ : 1) calculer l'image de $A$ par la rotation directe $r$ (formule, valeurs arrondies au centième) ; 2) calculer l'image de $A$ par $s_{D_1}$ puis par $s_{D_2}$ (avec les axes de la partie A), et vérifier qu'on retrouve le même résultat.

Partie C. Sans calcul supplémentaire, la composée de $r$ avec elle-même (deux rotations de $130°$ de suite) est-elle la même transformation qu'une rotation unique d'angle $260°$ ? Justifier à l'aide d'une propriété du cours.

Un jardinier dispose d'une parcelle carrée \(ABCD\) de sens direct, de côté 6 m et de centre \(O\). En faisant le tour de la parcelle, il plante quatre piquets : \(E\) sur le segment \([AB]\) avec \(AE=2\) m, \(F\) sur \([BC]\) avec \(BF=2\) m, \(G\) sur \([CD]\) avec \(CG=2\) m et \(H\) sur \([DA]\) avec \(DH=2\) m. Il veut réserver le quadrilatère \(EFGH\) aux légumes. On note \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

1) Justifie que \(r(A)=B\) et que \(r(B)=C\). Quelle est l'image du segment \([AB]\) par \(r\) ?

2) Démontre que \(r(E)=F\).

3) Déduis-en la nature du triangle \(OEF\).

4) On admet que l'on démontre de la même façon que \(r(F)=G\), \(r(G)=H\) et \(r(H)=E\). Démontre que \(EFGH\) est un carré.

5) Calcule la longueur \(EF\), puis l'aire réservée aux légumes. Quelle fraction de la parcelle représente-t-elle ?

6) Quelle est la nature de la transformation \(r\circ r\) ? Déduis-en que \(O\) est le milieu du segment \([EG]\).

Le plateau circulaire d'un tour de potier tourne autour de son centre \(O\). Le potier a fait une marque \(M\) sur le plateau, à 20 cm de \(O\). Les angles sont orientés dans le sens direct.

1) Le potier fait tourner le plateau de \(50^\circ\), puis encore de \(70^\circ\). Quelle transformation \(R\) fait passer de la position de départ d'un point du plateau à sa position d'arrivée ? Justifie.

2) On note \(M_1=R(M)\) et \(M_2=R(M_1)\). Démontre que \(R(M_2)=M\), puis que le triangle \(MM_1M_2\) est équilatéral.

3) Calcule la distance \(MM_1\) (valeur exacte, puis valeur arrondie au millimètre).

4) Quelle rotation ramène \(M_1\) en \(M\) ? Explique pourquoi une rotation de centre \(O\) et d'angle \(240^\circ\) ramène aussi \(M_1\) en \(M\).

5) Avant de tourner le plateau, le potier avait tracé un trait rectiligne \([MN]\) de 15 cm. On note \(N_1=R(N)\). Donne, en justifiant, la longueur \(M_1N_1\) et une mesure de l'angle orienté \((\overrightarrow{MN},\overrightarrow{M_1N_1})\).

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O;\vec{i},\vec{j})\). On note \(s_1\) la réflexion d'axe \((O;\vec{i})\), l'axe des abscisses, et \(s_2\) la réflexion d'axe la droite \(\Delta\) d'équation \(y=x\). On pose \(f=s_2\circ s_1\) : on applique d'abord \(s_1\), puis \(s_2\).

1) Donne l'expression analytique de \(s_1\). Démontre que l'image par \(s_2\) du point \(M(x;y)\) est le point \(M'(y;x)\).

2) Déduis-en l'expression analytique de \(f\), puis calcule les coordonnées des images \(A'\) et \(B'\) des points \(A(4;1)\) et \(B(1;3)\) par \(f\).

3) Démontre que \(O\) est le seul point invariant par \(f\).

4) En utilisant le théorème sur la composée de deux réflexions d'axes sécants, donne la nature et les éléments caractéristiques de \(f\). Contrôle ton résultat en comparant \(OA\) et \(OA'\) et en calculant le produit scalaire \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA'}\).

5) On pose \(g=s_1\circ s_2\). Donne l'expression analytique de \(g\), calcule \(g(A')\) et précise le lien entre \(f\) et \(g\). A-t-on \(s_1\circ s_2=s_2\circ s_1\) ?

6) Sans autre calcul d'image, justifie que les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont perpendiculaires, puis vérifie-le avec les coordonnées.

Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de sens direct et \(O\) le centre de son cercle circonscrit. On note \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{2\pi}{3}\), et \(s_A\), \(s_B\), \(s_C\) les réflexions d'axes respectifs \((OA)\), \((OB)\) et \((OC)\).

1) Justifie que \(r(A)=B\), \(r(B)=C\) et \(r(C)=A\).

2) Démontre que la droite \((OA)\) est la médiatrice de \([BC]\). Déduis-en les images de \(A\), \(B\) et \(C\) par \(s_A\). Donne de même, sans justification, leurs images par \(s_B\).

3) Détermine les images de \(A\), \(B\) et \(C\) par la composée \(s_B\circ s_A\) (on applique d'abord \(s_A\)). Quelle transformation reconnais-tu ? Vérifie la cohérence avec le théorème sur la composée de deux réflexions d'axes sécants.

4) Une isométrie \(f\) du plan vérifie \(f(O)=O\), \(f(A)=B\) et \(f(B)=A\). En utilisant la classification des isométries qui fixent un point, démontre que \(f\) est une réflexion et précise son axe.

5) Trouve une droite \(\Delta\) telle que \(r=s_\Delta\circ s_A\), où \(s_\Delta\) est la réflexion d'axe \(\Delta\). Vérifie ta réponse sur les trois sommets.