Réflexions

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La réflexion $s$ d'axe $(Ox)$ a pour réciproque :
a) $s$ elle-même   b) la réflexion d'axe $(Oy)$   c) l'identité   d) une translation

2) $s$ d'axe $(Ox)$. L'image de $M(7;-3)$ est :
a) $(7;3)$   b) $(-7;-3)$   c) $(-7;3)$   d) $(3;7)$

3) Si $(D_1)\parallel(D_2)$, la composée $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ est :
a) une rotation   b) une translation   c) une homothétie   d) une réflexion

4) Une réflexion transforme l'angle orienté $(\vec u,\vec v)$ en :
a) $(\vec u,\vec v)$   b) $-(\vec u,\vec v)$   c) $2(\vec u,\vec v)$   d) $\dfrac{(\vec u,\vec v)}2$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un architecte conçoit la façade symétrique d'un bâtiment administratif. L'axe de symétrie de la façade correspond à la droite $(D)$ : $x=6$ (mètres, repère orthonormé lié au plan). Une fenêtre $F$ est positionnée en $(2;3)$.

Consigne : Déterminer les coordonnées de la fenêtre $F'$ à placer pour respecter la symétrie de la façade par rapport à $(D)$, puis vérifier que la distance de $F$ à $(D)$ est bien égale à la distance de $F'$ à $(D)$.

Problème — Un artisan orne une grille en fer forgé à l'aide des deux réflexions $(D_1)=(Ox)$ et $(D_2)$ : $y=x$.

Partie A. Donner l'expression analytique de $s_{D_1}$ et de $s_{D_2}$.

Partie B. Soit $M(4;1)$. 1) Calculer $s_{D_1}(M)$. 2) Calculer $s_{D_2}(s_{D_1}(M))$. 3) Quelle est la nature de $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ ? Vérifier que le résultat du 2) est cohérent avec cette nature.

Partie C. Le fabricant veut orner un second point $N(0;3)$ avec la même transformation composée. Calculer l'image de $N$ par $s_{D_2}\circ s_{D_1}$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O;\vec{i},\vec{j})\). On considère la droite \((D)\) d'équation \(2x-y-1=0\), dont un vecteur directeur est \(\vec{u}(1;2)\), et on note \(s\) la réflexion d'axe \((D)\). On donne les points \(A(3;0)\), \(B(1;1)\) et \(C(0;4)\).

1) Vérifie que \(B\) appartient à \((D)\). Démontre que le point \(A'(-1;2)\) est l'image de \(A\) par \(s\).

2) Soit \(M(x;y)\) un point du plan et \(M'(x';y')\) son image par \(s\). En traduisant que le milieu de \([MM']\) appartient à \((D)\) et que \(\overrightarrow{MM'}\) est orthogonal à \(\vec{u}\), démontre que \(x'=\dfrac{-3x+4y+4}{5}\) et \(y'=\dfrac{4x+3y-2}{5}\).

3) Calcule les coordonnées de \(C'=s(C)\). Détermine ensuite l'ensemble des points invariants par \(s\).

4) Calcule le cosinus et le sinus de l'angle orienté \((\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})\), puis ceux de l'angle orienté \((\overrightarrow{BA'},\overrightarrow{BC'})\). Donne la mesure principale de chacun de ces angles. Quelle propriété des réflexions ce résultat illustre-t-il ?

5) Soit \((\Gamma)\) le cercle de centre \(C\) et de rayon 3. Détermine, en justifiant, une équation de l'image de \((\Gamma)\) par \(s\).

Deux hameaux \(A\) et \(B\) sont situés du même côté d'un canal d'irrigation rectiligne. Une coopérative veut installer une station de pompage \(P\) au bord du canal, puis poser deux conduites rectilignes \([PA]\) et \([PB]\). Elle cherche la position de \(P\) pour laquelle la longueur totale \(PA+PB\) est la plus petite possible.

On munit le plan d'un repère orthonormé dont l'unité représente 100 m. Le canal est l'axe des abscisses, et les hameaux sont les points \(A(1;2)\) et \(B(7;6)\). On note \(s\) la réflexion dont l'axe est le canal.

1) Donne l'expression analytique de \(s\), puis les coordonnées de \(A'=s(A)\).

2) Soit \(M\) un point quelconque du canal. Justifie que \(MA=MA'\), puis que \(MA+MB=MA'+MB\).

3) Justifie que \(MA'+MB\geq A'B\) et précise dans quel cas il y a égalité. Déduis-en la position du point \(P\) cherché.

4) Calcule les coordonnées de \(P\), puis la longueur minimale des conduites, en mètres.

5) Un villageois propose de placer la station au point \(H\) du canal le plus proche de \(A\). Calcule la longueur totale des conduites dans ce cas, puis l'économie réalisée avec le point \(P\), sachant que la pose coûte 2 000 F par mètre.

6) Calcule les coefficients directeurs des droites \((PA)\) et \((PB)\). Interprète le résultat à l'aide de la réflexion \(s\).

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\). On note \((d_1)\) la droite d'équation \(y=-1\) et \((d_2)\) la droite d'équation \(y=2\), puis \(s_1\) et \(s_2\) les réflexions d'axes respectifs \((d_1)\) et \((d_2)\). On rappelle que \(s_2\circ s_1\) désigne la transformation obtenue en appliquant d'abord \(s_1\), puis \(s_2\).

1) Soit \(M(x;y)\). Détermine, en justifiant, les coordonnées de \(s_1(M)\) et celles de \(s_2(M)\).

2) Démontre que \(s_2\circ s_1\) est une translation dont tu donneras le vecteur \(\vec{w}\). Compare \(\vec{w}\) au vecteur \(\overrightarrow{H_1H_2}\), où \(H_1(0;-1)\) et \(H_2(0;2)\).

3) Détermine \(s_1\circ s_2\). Les réflexions \(s_1\) et \(s_2\) commutent-elles ? Quel lien y a-t-il entre \(s_1\circ s_2\) et \(s_2\circ s_1\) ?

4) Soit \(t\) la translation de vecteur \(\vec{v}(0;-10)\). Détermine l'équation de la droite \((d_3)\), parallèle à \((d_1)\), telle que \(t=s_3\circ s_1\), où \(s_3\) est la réflexion d'axe \((d_3)\).

5) Démontre que \(s_3\circ s_2\circ s_1\) est une réflexion et précise son axe. Contrôle ton résultat en calculant de deux façons l'image du point \(A(3;4)\).

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O;\vec{i},\vec{j})\). On note \(s_1\) la réflexion d'axe l'axe des abscisses et \(s_2\) la réflexion d'axe la droite \((\Delta)\) d'équation \(y=x\), de vecteur directeur \(\vec{u}(1;1)\). On considère aussi le carré \(ABCD\) de sommets \(A(1;1)\), \(B(-1;1)\), \(C(-1;-1)\) et \(D(1;-1)\).

1) Soit \(M(x;y)\) un point du plan. Démontre que le point \(N(y;x)\) est l'image de \(M\) par \(s_2\).

2) On pose \(r=s_2\circ s_1\) (on applique d'abord \(s_1\), puis \(s_2\)). Détermine les coordonnées de \(M_1=r(M)\). Pour \(M\) distinct de \(O\), calcule \(OM_1\), puis le cosinus et le sinus de l'angle orienté \((\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM_1})\). Déduis-en la nature de \(r\) et compare son angle à l'angle orienté \((\vec{i},\vec{u})\).

3) Détermine de même \(s_1\circ s_2\). Quel lien y a-t-il entre \(s_1\circ s_2\) et \(r\) ?

4) Détermine les images des sommets du carré par \(s_1\), par \(s_2\), puis par \(r\). Justifie que le carré est globalement invariant par ces trois transformations, et cite deux autres réflexions qui le laissent globalement invariant.

5) On note \(s_4\) la réflexion d'axe la droite d'équation \(y=-x\) ; elle transforme \(M(x;y)\) en le point de coordonnées \((-y;-x)\). Détermine \(s_4\circ s_2\) et interprète le résultat en comparant les directions des deux axes.