Polynômes et fractions rationnelles

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le polynôme $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$ s'annule en $x=1$. Le quotient de la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)$ est :
a) $x^2-5x+6$   b) $x^2-5x-6$   c) $x^2+5x+6$   d) $x^2-6x+11$

2) Le trinôme $x^2+2x-15$ a pour racines :
a) $3$ et $-5$   b) $-3$ et $5$   c) $5$ et $3$   d) $-3$ et $-5$

3) Pour $x\neq-4$ et $x\neq-2$, la fraction $\dfrac{x^2-16}{x^2-2x-8}$ se simplifie en :
a) $\dfrac{x+4}{x+2}$   b) $\dfrac{x-4}{x+2}$   c) $\dfrac{x+4}{x-2}$   d) $\dfrac{x-4}{x-2}$

4) Le trinôme $x^2-9x+20$ se factorise en :
a) $(x-4)(x-5)$   b) $(x-4)(x+5)$   c) $(x+4)(x-5)$   d) $(x-2)(x-10)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative fruitière de la Boucle du Mouhoun modélise son bénéfice mensuel (en milliers de FCFA), en fonction du tonnage $x$ de mangues séchées vendues, par $B(x)=x^3-7x^2+7x+15$ pour $x\in[0;10]$. Un stagiaire a déjà repéré que $B(5)=0$ (seuil de rentabilité nulle à $5$ tonnes), et le gérant veut savoir s'il existe un autre seuil de rentabilité nulle dans la plage d'exploitation habituelle $[0;10]$.

Consigne :

1) Vérifier que $5$ est racine de $B$, puis déterminer les réels $a,b$ tels que $B(x)=(x-5)(x^2+ax+b)$.

2) Résoudre complètement l'équation $B(x)=0$.

3) Le gérant peut-il affirmer qu'aucun autre seuil de rentabilité nulle n'existe sur $[0;10]$ ? Conclure.

Problème — Soit $Q(x)=x^3-3x^2-4x+12$.

Partie A. 1) Vérifier que $2$ est racine de $Q$. 2) Déterminer les réels $a,b$ tels que $Q(x)=(x-2)(x^2+ax+b)$. 3) Résoudre l'équation $Q(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.

Partie B. On considère $f:\mathbb{R}\setminus\{-2\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{Q(x)}{x+2}$. 1) Simplifier l'expression de $f(x)$ à l'aide de la Partie A. 2) Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. 3) L'application $g:[3;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par $g(x)=f(x)$ est-elle injective ? Justifier à l'aide du signe de $f'$.

On considère le polynôme \(P(x)=2x^3-3x^2-11x+6\).

1) Vérifie que 3 est une racine de \(P\). Que peut-on en déduire pour la factorisation de \(P(x)\) ?

2) Détermine trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout réel \(x\), \(P(x)=(x-3)(ax^2+bx+c)\). Tu procéderas par identification des coefficients, en précisant le résultat admis que tu utilises.

3) Factorise le trinôme obtenu, puis écris \(P(x)\) comme produit de trois facteurs du premier degré.

4) Résous l'équation \(P(x)=0\), puis l'inéquation \(P(x)\leq 0\) à l'aide d'un tableau de signes.

5) Déduis des questions précédentes les solutions de l'équation \(2t^6-3t^4-11t^2+6=0\).

On considère les polynômes \(A(x)=x^4-3x^3+2x^2+5x-7\) et \(B(x)=x^2-x+1\).

1) Effectue la division euclidienne de \(A(x)\) par \(B(x)\). On notera \(Q(x)\) le quotient et \(R(x)\) le reste.

2) Contrôle le résultat en développant \(B(x)\times Q(x)+R(x)\).

3) Démontre que \(B(x)\) ne s'annule pour aucun réel \(x\), et précise son signe.

4) Déduis de la division une écriture de la fraction rationnelle \(F(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}\) sous la forme d'un polynôme augmenté d'une fraction. Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(F(x)=Q(x)\) ? Vérifie par un calcul direct.

5) Détermine le réel \(m\) pour que le polynôme \(x^4-3x^3+2x^2+5x+m\) soit divisible par \(x-2\). Justifie.

On considère l'équation \((E)\) : \(x^2-5x+3=0\).

1) Justifie que \((E)\) admet deux racines réelles distinctes, notées \(x_1\) et \(x_2\). Sans les calculer, donne leur somme \(S\) et leur produit \(P\).

2) Toujours sans calculer les racines, détermine \(x_1^2+x_2^2\) et \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\).

3) Calcule \((x_1-x_2)^2\) à l'aide de \(S\) et de \(P\). Quel nombre déjà rencontré retrouves-tu ?

4) Écris une équation du second degré dont les racines sont \(2x_1\) et \(2x_2\).

5) Un terrain rectangulaire a un périmètre de 34 mètres et une aire de 60 mètres carrés. Détermine ses dimensions à l'aide de leur somme et de leur produit, puis la longueur de sa diagonale sans utiliser les dimensions trouvées.

On considère la fraction rationnelle \(F(x)=\dfrac{2x^2-x-3}{x^2-1}\).

1) Détermine l'ensemble de définition \(D\) de \(F\).

2) Factorise le numérateur et le dénominateur, puis simplifie \(F(x)\) pour \(x\) dans \(D\).

3) Détermine deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(x\) de \(D\), \(F(x)=a+\dfrac{b}{x-1}\).

4) Résous dans \(D\) les équations \(F(x)=0\), \(F(x)=1\) et \(F(x)=\dfrac{5}{2}\). Explique ce qui se passe pour la dernière.

5) Étudie le signe de \(F(x)\) sur \(D\) et résous l'inéquation \(F(x)\geq 0\).