Première E · Leçon 17
Orthogonalité dans l'espace
Exercices corrigés
QCM — Produit scalaire, vecteur normal, perpendicularité
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $\vec u(1;2;-2)$ et $\vec v(2;-1;0)$. Ces deux vecteurs sont :
a) orthogonaux, car $\vec u\cdot\vec v=0$ b) colinéaires c) égaux d) coplanaires seulement
2) Soit $A(1;0;0)$ et $B(4;4;3)$. La distance $AB$ vaut :
a) $\sqrt{34}$ b) $34$ c) $10$ d) $\sqrt{10}$
3) Le plan $P:\ 3x-y+2z-4=0$ a pour vecteur normal :
a) $(3;-1;2)$ b) $(3;1;2)$ c) $(-3;-1;2)$ d) $(3;-1;-2)$
4) Deux plans ont pour vecteurs normaux $\vec n_1(1;2;-1)$ et $\vec n_2(3;-1;1)$. Ces deux plans sont :
a) perpendiculaires, car $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$ b) parallèles c) confondus d) ni perpendiculaires ni parallèles
Situation d'intégration — Charpente d'un chantier scolaire
Exercice 2 — Situation d'intégration
Sur le chantier de rénovation d'un lycée, un charpentier installe une poutre métallique verticale. Il place un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ où le sol correspond au plan $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ et l'axe $(Oz)$ est vertical (unité : le mètre). Le toit plat du bâtiment est modélisé par le plan $P$ d'équation $z=6$ (soit $0x+0y+z-6=0$), et la poutre par la droite $D$ dirigée par $\vec u(0;0;1)$, passant par le point $A(3;2;0)$ au sol.
Consigne :
1) Donner le vecteur normal du plan $P$.
2) Le charpentier affirme que sa poutre $D$ est perpendiculaire au toit $P$. A-t-il raison ? Justifier à l'aide d'un produit scalaire (ou d'une comparaison de vecteurs).
3) Un second appui est prévu, dirigé par le vecteur $\vec v(1;0;1)$. Cet appui est-il, lui aussi, perpendiculaire au toit $P$ ?
Problème — Plan déterminé par 3 points et position d'une droiteApprofondissement — Équation d'un plan défini par 3 points
Partie A. Soit $A(1;0;2)$, $B(3;-2;4)$, $C(2;1;-1)$.
1) Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2) Montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires (donc $A$, $B$, $C$ déterminent bien un plan).
3) Donner une représentation paramétrique du plan $(ABC)$.
Partie B. Soit le plan $P$ d'équation $x+y-z-1=0$.
4) Le point $D(2;3;4)$ appartient-il à $P$ ?
5) La droite $\Delta$ passant par $D$ et dirigée par $\vec v(1;1;1)$ est-elle incluse dans $P$, parallèle à $P$ sans lui appartenir, ou sécante à $P$ ? Préciser, le cas échéant, le point d'intersection.
Voir le corrigé
- $\overrightarrow{AB}=(2;-2;2)$, $\overrightarrow{AC}=(1;1;-3)$.
- Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ étaient colinéaires, on aurait $2/1=-2/1$, ce qui est faux : ils ne sont pas colinéaires, donc $A$, $B$, $C$ déterminent bien un plan.
- $(ABC):\ \begin{cases}x=1+2t+t'\\y=-2t+t'\\z=2+2t-3t'\end{cases}$, $(t,t')\in\mathbb R^2$.
- $2+3-4-1=0$ : $D\in P$.
- Vecteur normal de $P$ : $\vec n(1;1;-1)$. $\vec n\cdot\vec v=1+1-1=1\neq0$ : $\vec v$ n'est pas orthogonal à $\vec n$, donc $\Delta$ n'est pas parallèle à $P$ — elle lui est sécante. En paramétrant $\Delta:\ (2+s;3+s;4+s)$ et en substituant dans l'équation de $P$ : $(2+s)+(3+s)-(4+s)-1=s$, nul uniquement pour $s=0$ : l'unique point d'intersection est donc $D$ lui-même.
- En injectant $A(1;0;0)$ dans $ax+by+cz=d$ : $a=d$. En injectant $B(0;1;0)$ : $b=d$. En injectant $C(0;0;1)$ : $c=d$. Donc $a=b=c=d$ : en choisissant $d=1$, on obtient $a=b=c=1$, soit l'équation $x+y+z=1$. Vérification : $A$ : $1+0+0=1$ ✓ ; $B$ : $0+1+0=1$ ✓ ; $C$ : $0+0+1=1$ ✓.
- On remplace par les coordonnées de $D(1;1;1)$ : $1+1+1=3\neq1$. Donc $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.
Approfondissement — Équation d'un plan défini par 3 points
Exercice 4 — Approfondissement
Dans l'espace muni d'un repère, on donne les points $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$ et $D(1;1;1)$.
1) On cherche une équation du plan $(ABC)$ sous la forme $ax+by+cz=d$. En utilisant les coordonnées de $A$, $B$ et $C$, montrer que l'on peut choisir $a=b=c=1$ et $d=1$.
2) Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?
Problème — Triangle rectangle dans l'espace et plans perpendiculaires
Partie A. Soit $A(2;-1;3)$, $B(0;1;1)$, $C(3;1;4)$.
1) Calculer la distance $AB$.
2) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?
Partie B. Soit $P:\ x-2y+2z-3=0$ et $Q:\ 2x+y-z+1=0$.
3) Déterminer les vecteurs normaux de $P$ et de $Q$.
4) Les plans $P$ et $Q$ sont-ils perpendiculaires ?
Voir le corrigé
- $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-2)$, $AB=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt3$.
- $\overrightarrow{AC}=(1;2;1)$. $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=1(-2)+2(2)+1(-2)=-2+4-2=0$ : les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
- $\vec n_P(1;-2;2)$, $\vec n_Q(2;1;-1)$.
- $\vec n_P\cdot\vec n_Q=1(2)+(-2)(1)+2(-1)=2-2-2=-2\neq0$ : les plans $P$ et $Q$ ne sont pas perpendiculaires.
Un angle droit caché dans un pavé droit
\(ABCDEFGH\) est un pavé droit : \(ABCD\) et \(EFGH\) sont deux faces rectangulaires opposées et les arêtes \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\), \([DH]\) sont perpendiculaires au plan \((ABC)\). On donne \(AB=4\), \(AD=2\) et \(AE=2\). Le point \(I\) est le milieu de l'arête \([AB]\). Dans les questions 1 et 2, tu travailles sans repère, avec les propriétés du produit scalaire.
1) En écrivant \(\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}\), calcule le produit scalaire \(\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{IC}\). Que peux-tu dire des droites \((DI)\) et \((IC)\) ?
2) Justifie que la droite \((DI)\) est orthogonale à la droite \((CG)\), puis démontre que \((DI)\) est orthogonale au plan \((ICG)\).
3) Déduis-en la nature du triangle \(DIG\). Calcule ensuite \(DI\), \(IG\) et \(DG\) et contrôle ton résultat.
4) Calcule l'aire du triangle \(DIG\), puis la distance du point \(I\) à la droite \((DG)\).
5) On projette orthogonalement l'angle droit \(\widehat{DIG}\) sur le plan \((ABC)\). Quel angle obtient-on ? Est-il droit ? Explique pourquoi ce résultat était prévisible.
Deux plans perpendiculaires et deux droites orthogonales
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les plans \(P\) d'équation \(2x-y+2z-5=0\) et \(Q\) d'équation \(x+4y+z-7=0\), ainsi que le point \(A(5;-3;5)\).
1) Donne un vecteur normal \(\vec{n}\) à \(P\) et un vecteur normal \(\vec{n}'\) à \(Q\). Démontre que les plans \(P\) et \(Q\) sont perpendiculaires.
2) Écris une représentation paramétrique de la droite \(d\) passant par \(A\) et orthogonale à \(P\). Calcule les coordonnées du point \(H\) où \(d\) coupe \(P\), puis la longueur \(AH\).
3) Quelle est la position de la droite \(d\) par rapport au plan \(Q\) ? Justifie.
4) On note \(\Delta\) la droite de représentation paramétrique \(x=t\), \(y=1\), \(z=3-t\), où \(t\) est un réel. Démontre que \(\Delta\) est la droite d'intersection des plans \(P\) et \(Q\).
5) Démontre que les droites \(d\) et \(\Delta\) sont orthogonales. Sont-elles sécantes ? Conclus sur leur position relative.
Une voile d'ombrage au-dessus d'une cour
Dans la cour d'un marché, on tend une voile d'ombrage entre des poteaux. L'espace est muni d'un repère orthonormé dont l'unité est le mètre ; le sol est le plan d'équation \(z=0\). La voile est fixée aux sommets de trois poteaux, aux points \(A(0;0;3)\), \(B(4;0;2)\) et \(C(0;4;2)\).
1) Calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), justifie que les points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés, puis calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et une mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\) au dixième de degré près.
2) Démontre que le vecteur \(\vec{n}(1;1;4)\) est normal au plan \((ABC)\) et déduis-en une équation cartésienne de ce plan.
3) On veut agrandir la voile en la fixant aussi au sommet \(D\) d'un quatrième poteau planté au point du sol de coordonnées \((4;4;0)\), en la gardant plane. Quelle hauteur faut-il donner à ce poteau ? Démontre que \(ABDC\) est alors un losange.
4) Un projecteur est posé sur un socle au point \(S(1{,}5;0{,}5;0{,}25)\). Son faisceau est orthogonal à la voile. Détermine les coordonnées du point \(K\) où le faisceau atteint le plan de la voile, puis la distance \(SK\) au centimètre près.
5) Vérifie que \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\). Le faisceau éclaire-t-il bien la voile \(ABDC\) ? Justifie.
Le drone et l'antenne : distance minimale et orthogonalité
Un drone surveille des cultures. L'espace est muni d'un repère orthonormé dont l'unité représente 100 m. À l'instant \(t\) (en minutes, \(t\geq 0\)), le drone se trouve au point \(M\) de coordonnées \(x=1+2t\), \(y=-3+2t\), \(z=2+t\). L'antenne qui le commande est fixée au point \(P(4;3;2)\).
1) Justifie que le drone se déplace sur une droite dont tu donneras un point et un vecteur directeur \(\vec{u}\). Calcule la norme de \(\vec{u}\) et déduis-en la vitesse du drone en mètres par minute.
2) On pose \(f(t)=PM^2\). Démontre que \(f(t)=9t^2-36t+45\).
3) Étudie les variations de la fonction \(f\) sur \([0;+\infty[\) à l'aide de sa dérivée. Déduis-en l'instant où le drone est le plus proche de l'antenne, sa position \(H\) à cet instant et la distance minimale en mètres.
4) Vérifie que \(\overrightarrow{PH}\cdot\vec{u}=0\), puis démontre que, pour tout \(t\), \(f'(t)=2\,\overrightarrow{PM}\cdot\vec{u}\). Interprète géométriquement le point \(H\).
5) L'antenne a une portée de 500 m. Pendant quel intervalle de temps le drone reste-t-il à portée ? Donne la durée correspondante en minutes et secondes.