Première E · Leçon 6
Limites d'une suite
Exercices corrigés
QCM — Limites d'une suite
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(4n^2-7)$ vaut :
a) $4$ b) $-7$ c) $+\infty$ d) $0$
2) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac1{n^3}$ vaut :
a) $+\infty$ b) $1$ c) $0$ d) n'existe pas
3) Soit $u_n=(0{,}8)^n$. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ vaut :
a) $0$ b) $+\infty$ c) $1$ d) $0{,}8$
4) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(9-5\times\left(\dfrac13\right)^n\right)$ vaut :
a) $9$ b) $4$ c) $-5$ d) n'existe pas
Voir le corrigé
- Réponse : c. $n^2\to+\infty$ donc $4n^2-7\to+\infty$.
- Réponse : c. $\dfrac1{n^3}\to0$ (référence finie du cours).
- Réponse : a. $0\leqslant0{,}8<1$, donc $(0{,}8)^n\to0$.
- Réponse : a. $0\leqslant\frac13<1\Rightarrow\left(\frac13\right)^n\to0$, donc la limite vaut $9-5\times0=9$.
Limites par opérations
Détermine la limite, quand \(n\) tend vers \(+\infty\), de chacune des suites suivantes, en justifiant par les limites de référence et les règles d'opérations.
1) \(u_n=3-\dfrac2n\) (pour \(n\ge1\)).
2) \(v_n=n^2+5n\).
3) \(w_n=(0{,}8)^n+4\).
4) \(t_n=\dfrac5{n^2+1}\).
5) \(s_n=-2\times3^n\).
Voir le corrigé
- 1) \(\dfrac1n\to0\), donc \(\dfrac2n\to0\) et \(u_n\to3-0=3\).
- 2) \(n^2\to+\infty\) et \(5n\to+\infty\) : la somme de deux suites qui tendent vers \(+\infty\) tend vers \(+\infty\). Donc \(v_n\to+\infty\).
- 3) \(0\le0{,}8\lt 1\), donc \((0{,}8)^n\to0\) (suite géométrique) et \(w_n\to0+4=4\).
- 4) \(n^2+1\to+\infty\), donc son inverse tend vers \(0\) : \(\dfrac1{n^2+1}\to0\) et \(t_n=5\times\dfrac1{n^2+1}\to0\).
- 5) \(3\gt 1\), donc \(3^n\to+\infty\). En multipliant par \(-2\), nombre négatif, on obtient \(s_n\to-\infty\).
Réponse : \(u_n\to3\), \(v_n\to+\infty\), \(w_n\to4\), \(t_n\to0\), \(s_n\to-\infty\).
La valeur d’une moto
Une moto achetée \(2\,000\) milliers de francs CFA perd \(15\,\%\) de sa valeur chaque année. On note \(v_n\) sa valeur, en milliers de francs, au bout de \(n\) années, avec \(v_0=2\,000\).
1) Calcule \(v_1\) et \(v_2\).
2) Montre que \((v_n)\) est une suite géométrique dont tu préciseras la raison, puis exprime \(v_n\) en fonction de \(n\).
3) Détermine la limite de \((v_n)\) et interprète-la.
4) À l'aide de la calculatrice, détermine au bout de combien d'années la valeur de la moto devient inférieure à \(500\) milliers de francs.
Approcher une limite
Soit \((u_n)\) la suite définie pour \(n\ge1\) par \(u_n=2+\dfrac3n\).
1) Calcule \(u_1\), \(u_{10}\) et \(u_{100}\).
2) Étudie le sens de variation de \((u_n)\) et montre que \(u_n\gt 2\) pour tout \(n\ge1\).
3) Détermine la limite de \((u_n)\).
4) À partir de quel rang a-t-on \(u_n-2\lt 0{,}01\) ?
Suite définie par une relation de récurrence
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+3\).
1) Calcule \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?
2) On pose \(v_n=u_n-6\). Montre que \((v_n)\) est une suite géométrique dont tu donneras la raison et le premier terme.
3) Exprime \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
4) Détermine la limite de \((u_n)\).
Limite d'un quotient et rapidité de convergence
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\dfrac{3n^2-n+2}{n^2+1}\).
1) Calcule \(u_0\), \(u_1\) et \(u_{10}\) ; tu donneras \(u_{10}\) arrondi au millième.
2) Pour \(n\geq 1\), mets \(n^2\) en facteur au numérateur et au dénominateur, puis détermine la limite de la suite \((u_n)\) à l'aide des opérations sur les limites.
3) Démontre que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(|u_n-3|=\dfrac{n+1}{n^2+1}\), puis que \(|u_n-3|\leq\dfrac{2}{n}\). Que retrouve-t-on ?
4) À partir de quel rang la majoration précédente garantit-elle que \(|u_n-3|\lt 0{,}01\) ? Ce rang est-il le plus petit possible ? Justifie par un calcul.
5) On pose \(v_n=n(u_n-3)\) pour \(n\geq 1\). Détermine la limite de la suite \((v_n)\).
Les rebonds d'un ballon
On lâche un ballon d'une hauteur de 2 mètres. Après chaque rebond, il remonte aux trois quarts de la hauteur dont il vient de tomber. On note \(h_n\) la hauteur, en mètres, atteinte après le \(n\)-ième rebond, avec \(h_0=2\).
1) Calcule \(h_1\), \(h_2\) et \(h_3\).
2) Quelle est la nature de la suite \((h_n)\) ? Exprime \(h_n\) en fonction de \(n\) et détermine sa limite.
3) À partir de quel rebond le ballon remonte-t-il à moins de 10 centimètres ?
4) On note \(D_n\) la distance totale parcourue par le ballon, en mètres, depuis le lâcher jusqu'au moment où il touche le sol après son \(n\)-ième rebond : la descente initiale de 2 mètres, puis, pour chacun des \(n\) rebonds, une montée et une descente de même hauteur. Explique pourquoi \(D_n=2+2(h_1+h_2+\dots+h_n)\), puis montre que \(h_1+h_2+\dots+h_n=6\left(1-0{,}75^n\right)\).
5) Déduis-en l'expression de \(D_n\), puis sa limite. Interprète ce résultat.
Une limite infinie obtenue par minoration
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=n^2-10n+3\).
1) Calcule \(u_0\), \(u_1\), \(u_5\), \(u_{10}\) et \(u_{20}\).
2) Calcule \(u_{n+1}-u_n\) et précise à partir de quel rang la suite est croissante.
3) Démontre que, pour tout entier \(n\geq 20\), \(u_n\geq\dfrac{1}{2}n^2\).
4) Déduis-en la limite de la suite \((u_n)\). Retrouve ce résultat en mettant \(n^2\) en facteur dans \(u_n\).
5) Détermine les limites des suites de termes généraux \(\dfrac{u_n}{n^2}\), \(\dfrac{u_n}{n^3}\) et \(\dfrac{1}{u_n}\).
Converger sans être monotone, et ne pas avoir de limite
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\geq 1\) par \(u_n=2+\dfrac{(-1)^n}{n}\).
1) Calcule \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\). La suite est-elle monotone ?
2) Calcule \(|u_n-2|\) et déduis-en que la suite \((u_n)\) converge. Précise sa limite.
3) À partir de quel rang a-t-on \(|u_n-2|\lt 0{,}001\) ?
4) On considère la suite \((w_n)\) définie pour \(n\geq 1\) par \(w_n=(-1)^n\times\dfrac{n}{n+1}\). Vers quoi se rapprochent les termes de rang pair ? Et ceux de rang impair ? La suite \((w_n)\) a-t-elle une limite ?
5) La suite \((t_n)\) est définie pour \(n\geq 1\) par \(t_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\). A-t-elle une limite ? Compare avec la question précédente et explique la différence.