Génération, suites arithmétiques et géométriques

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f(x)=3x-2$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n$. $u_3$ vaut :
a) 5   b) 7   c) 9   d) 1

2) Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n+1$. $u_2$ vaut :
a) 19   b) 22   c) 25   d) 7

3) Soit $v_n=8-2n$. $v_{n+1}-v_n$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-2n$   d) $8$

4) Une suite $(w_n)$ vérifie $w_{n+1}-w_n=4$ pour tout $n$. La suite $(w_n)$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) on ne peut pas savoir

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $u_0=5$ et $u_{n+1}=3u_n-4$. La valeur de $u_2$ est :
a) $29$   b) $33$   c) $26$   d) $15$

2) Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0=10$ et pour raison $a=-3$. La valeur de $u_8$ est :
a) $34$   b) $-11$   c) $-14$   d) $-24$

3) Une suite géométrique a pour premier terme $u_0=2$ et pour raison $b=3$. La somme $S_4=u_0+u_1+u_2+u_3+u_4$ vaut :
a) $242$   b) $121$   c) $240$   d) $484$

4) Soit $f(x)=3x-2$ et $u_n=f(n)$. La valeur de $u_0$ est :
a) $-2$   b) $1$   c) $3$   d) $-5$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG suit le nombre total d'arbres plantés dans le cadre d'un programme de reboisement. Le nombre cumulé d'arbres plantés après $n$ années, noté $u_n$, vérifie $u_0=200$ (arbres plantés la première année) et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+150$ (150 nouveaux arbres plantés chaque année, qui s'ajoutent au total).

Consigne : Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$, et dire si ce modèle est cohérent avec un programme de reboisement mené sans interruption.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole épargne pour acheter un tracteur coûtant $1\,500\,000$ FCFA. Elle dépose $50\,000$ FCFA le premier mois ($u_0$), puis augmente chaque mois son dépôt de $15\,000$ FCFA par rapport au mois précédent (suite arithmétique de raison $a=15\,000$).

Consigne : Calculer le montant déposé le $12^e$ mois (terme $u_{11}$), puis le montant total épargné après ces $12$ mois (somme $S_{11}$ des termes $u_0$ à $u_{11}$). La coopérative aura-t-elle réuni la somme nécessaire pour le tracteur au bout de $12$ mois ?

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une banque de développement finance un projet d'adduction d'eau. Le coût cumulé de maintenance (en millions de FCFA) après $n$ années de fonctionnement suit $C_n=8-6\times(0{,}5)^n$.

Consigne : Étudier la limite de $C_n$ quand $n\to+\infty$, et interpréter ce résultat pour le budget à long terme du projet : le coût cumulé se stabilise-t-il, et vers quelle valeur plafond ?

Problème.

Partie A. Soit $f(x)=2x^2-1$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
1) Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
2) Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Partie B. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et, pour tout $n$, $v_{n+1}=2v_n-1$.
3) Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
4) En observant les écarts entre termes consécutifs, conjecturer une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis vérifier cette conjecture pour $n=0,1,2,3,4$.

Problème — Une entreprise de reboisement compare deux stratégies de plantation d'arbres sur $6$ ans (années $0$ à $5$).

Partie A — Stratégie 1 (arithmétique). $200$ arbres plantés l'année $0$ ($u_0=200$), puis $40$ arbres de plus chaque année ($a=40$). 1) Calculer $u_5$ (nombre d'arbres plantés l'année $5$). 2) Calculer $S_5=u_0+\cdots+u_5$, le nombre total d'arbres plantés sur les $6$ ans.

Partie B — Stratégie 2 (géométrique). Un partenaire propose de doubler chaque année le nombre d'arbres plantés : $v_0=200$, raison $b=2$. 1) Calculer $v_5$. 2) Calculer $S_5'=v_0+\cdots+v_5$.

Partie C. Comparer les deux totaux obtenus sur $6$ ans et conclure sur la stratégie la plus efficace en nombre d'arbres plantés (sans tenir compte du coût).

Exercice 4 — Approfondissement

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac13u_n+4$.

1) On pose $v_n=u_n-6$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

2) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

3) Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.

4) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>5{,}99$.

Problème — Une plateforme de tutorat en ligne burkinabè suit trois indicateurs mensuels, $n$ désignant le nombre de mois depuis le lancement.

Partie A. Nombre d'inscriptions cumulées (en dizaines) : $u_n=6n^3-100$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$, en justifiant.

Partie B. Taux de rétention (en %) : $v_n=12-8\times(0{,}25)^n$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n$, en justifiant.

Partie C. Note de satisfaction (sur $10$) : $w_n=\dfrac1{n^2}+5$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n$, en justifiant.

Partie D. D'après les trois résultats précédents, lequel de ces indicateurs ne se stabilise jamais et continue de croître indéfiniment ? Lesquels se stabilisent, et vers quelles valeurs ?

Les gradins d'un terrain de sport sont formés de rangs numérotés à partir du bas. Le premier rang compte 18 places, et chaque rang compte 4 places de plus que le rang situé juste en dessous. On note \(u_n\) le nombre de places du rang numéro \(n\), pour \(n\geq 1\).

1) Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ? Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\).

2) Les gradins comptent 15 rangs. Combien de places le dernier rang contient-il ? Quel rang contient exactement 50 places ? Existe-t-il un rang de 60 places ?

3) Calcule le nombre total de places des 15 rangs.

4) Démontre que le nombre total de places des \(n\) premiers rangs est \(S_n=2n^2+16n\).

5) On veut agrandir les gradins pour accueillir au moins 1 000 spectateurs assis. Combien de rangs faut-il au minimum ?

La suite \((v_n)\) est géométrique, de raison \(q\) strictement positive. On sait que \(v_2=12\) et \(v_5=96\).

1) Détermine la raison \(q\), puis le premier terme \(v_0\).

2) Exprime \(v_n\) en fonction de \(n\) et calcule \(v_8\).

3) Calcule la somme \(S=v_0+v_1+\dots+v_9\).

4) Détermine le plus petit entier \(n\) tel que \(v_n\gt 10\,000\).

5) On pose \(w_n=v_{2n}\) pour tout entier naturel \(n\). Exprime \(w_n\) en fonction de \(n\) et démontre que la suite \((w_n)\) est géométrique ; précise sa raison.

On rappelle que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\), et que, pour tout réel \(b\neq 1\), \(1+b+b^2+\dots+b^n=\dfrac{b^{n+1}-1}{b-1}\).

1) Calcule \(A=1+2+3+\dots+100\).

2) Déduis-en la somme des nombres pairs \(B=2+4+6+\dots+200\). Calcule ensuite la somme des nombres impairs \(C=1+3+5+\dots+199\) en reconnaissant une suite arithmétique, et contrôle tes résultats à l'aide de la somme \(1+2+\dots+200\).

3) Calcule \(D=1+3+9+27+\dots+3^7\).

4) Calcule \(E=\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(3k+2)\).

5) Détermine l'entier \(n\) tel que \(1+2+\dots+n=231\).

Une jeune diplômée reçoit deux propositions d'embauche.

Contrat A : un salaire mensuel de 150 000 francs la première année, augmenté de 5 000 francs chaque année.
Contrat B : un salaire mensuel de 140 000 francs la première année, augmenté de 4 % chaque année.

On note \(a_n\) et \(b_n\) les salaires mensuels des contrats A et B au bout de \(n\) années, de sorte que \(a_0=150\,000\) et \(b_0=140\,000\).

1) Calcule \(a_1\), \(a_2\), \(b_1\) et \(b_2\).

2) Précise la nature des suites \((a_n)\) et \((b_n)\), puis exprime \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(n\).

3) À l'aide de la calculatrice, détermine la première valeur de \(n\) pour laquelle le salaire mensuel du contrat B dépasse celui du contrat A.

4) Calcule, pour chaque contrat, la somme totale perçue pendant les dix premières années, de l'année 0 à l'année 9. Tu arrondiras au franc.

5) Quel contrat conseilles-tu pour un emploi de dix ans ? Explique pourquoi la réponse à la question 3 ne suffisait pas pour décider.