Formules d'addition, duplication, linéarisation

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\cos(a+b)$ vaut :
a) $\cos a\cos b-\sin a\sin b$   b) $\cos a\cos b+\sin a\sin b$   c) $\sin a\cos b+\cos a\sin b$   d) $\cos a+\cos b$

2) $\sin(2a)$ vaut :
a) $2\sin a\cos a$   b) $\cos^2a-\sin^2a$   c) $2\cos^2a-1$   d) $\sin a+\cos a$

3) $\cos75°=\cos(45°+30°)$ vaut :
a) $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4$   b) $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4$   c) $\dfrac{\sqrt2}2$   d) $\dfrac12$

4) D'après la formule de linéarisation du cours, $\cos^2a$ s'écrit :
a) $\dfrac{1+\cos(2a)}2$   b) $\dfrac{1-\cos(2a)}2$   c) $1-\sin^2a$   d) $\dfrac{\cos(2a)}2$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un technicien du service météorologique modélise la hauteur d'eau dans un bassin de rétention par $h(t)=3\cos t+4\sin t$ (mètres, $t$ en heures depuis le début de l'observation).

Consigne : Déterminer $R$ et $\varphi$ tels que $h(t)=R\cos(t-\varphi)$, en déduire la hauteur maximale que peut atteindre l'eau dans le bassin d'après ce modèle.

Problème.

Partie A. Sachant $\cos a=\dfrac7{25}$ avec $a\in\left[0;\dfrac\pi2\right]$, calculer $\sin a$, puis $\cos(2a)$ et $\sin(2a)$.

Partie B. Linéariser $\cos^2x\sin^2x$ (comme l'exemple du cours), puis évaluer cette expression pour $x$ tel que $\sin(2x)=0{,}6$.

Partie C. Transformer $8\cos x+6\sin x$ en $R\cos(x-\varphi)$ et donner la valeur maximale de cette expression.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sqrt{2}\cos x-\sqrt{6}\sin x\).

1) En remarquant que \(\frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\), calcule les valeurs exactes de \(\cos\frac{5\pi}{12}\) et de \(\sin\frac{5\pi}{12}\).

2) À l'aide d'une formule de duplication appliquée à \(a=\frac{5\pi}{12}\), calcule \(\cos^2\frac{5\pi}{12}\) d'une autre manière, puis vérifie la cohérence avec le résultat de la question 1.

3) Déduis-en la valeur exacte de \(\tan\frac{5\pi}{12}\), sous la forme \(a+b\sqrt{3}\) avec \(a\) et \(b\) entiers.

4) Démontre que pour tout réel \(x\), \(f(x)=2\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\).

5) Déduis-en le maximum et le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), en donnant pour chacun un réel où il est atteint. Utilise ensuite la question 1 pour calculer la valeur exacte de \(f\left(\frac{\pi}{12}\right)\).

Un menuisier taille une poutre à section rectangulaire dans un tronc cylindrique de 40 cm de diamètre. La section de la poutre est un rectangle \(ABCD\) inscrit dans le disque de section du tronc : sa diagonale \([AC]\) est un diamètre, donc \(AC=40\) cm. On note \(\ell=AB\) la largeur, \(h=BC\) la hauteur et \(\theta\) la mesure en radian de l'angle \(\widehat{BAC}\), avec \(0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\).

1) Justifie que \(\ell=40\cos\theta\) et \(h=40\sin\theta\).

2) Démontre que l'aire de la section est \(S(\theta)=800\sin 2\theta\). Déduis-en l'aire maximale et la forme de la section correspondante.

3) Démontre que le périmètre de la section est \(P(\theta)=80\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\), puis détermine le périmètre maximal (valeur exacte et arrondi au mm).

4) Exprime \(h^2-\ell^2\) en fonction de \(\cos 2\theta\). Le menuisier veut une poutre telle que \(h^2-\ell^2=800\) : détermine \(\theta\), puis les dimensions \(\ell\) et \(h\).

5) Calcule les valeurs exactes de \(\cos\frac{\pi}{12}\) et \(\sin\frac{\pi}{12}\) en utilisant \(\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\). Déduis-en \(\ell\) et \(h\) pour \(\theta=\frac{\pi}{12}\), puis vérifie que le produit \(\ell h\) est bien égal à \(S\left(\frac{\pi}{12}\right)\).

Dans cet exercice, \(x\) désigne un réel quelconque.

1) À partir des formules de duplication, démontre que \(\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}\) et \(\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}\).

2) Déduis-en la linéarisation \(\cos^4x=\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}\).

3) Établis de même que \(\sin^4x=\frac{3-4\cos 2x+\cos 4x}{8}\). Déduis-en que \(\cos^4x+\sin^4x=\frac{3+\cos 4x}{4}\) et que \(\cos^4x-\sin^4x=\cos 2x\), puis retrouve ce dernier résultat par une factorisation.

4) Calcule la somme \(S=\cos^4\frac{\pi}{8}+\cos^4\frac{3\pi}{8}+\cos^4\frac{5\pi}{8}+\cos^4\frac{7\pi}{8}\).

5) Donne les valeurs exactes de \(\cos^4\frac{\pi}{8}\) et de \(\sin^4\frac{\pi}{8}\), vérifie les deux relations de la question 3 pour \(x=\frac{\pi}{8}\), puis détermine le minimum et le maximum de \(g(x)=\cos^4x+\sin^4x\) sur \(\mathbb{R}\).

On pose \(c=\cos\frac{\pi}{5}\) et on considère le polynôme \(P(t)=4t^3+2t^2-3t-1\).

1) En écrivant \(3x=2x+x\), démontre que pour tout réel \(x\), \(\cos 3x=4\cos^3x-3\cos x\).

2) Justifie que \(\cos\frac{3\pi}{5}=-\cos\frac{2\pi}{5}\). Déduis-en, à l'aide de la question 1 et d'une formule de duplication, que \(c\) est une racine du polynôme \(P\).

3) Calcule \(P(-1)\) et déduis-en une factorisation de \(P(t)\) sous la forme \((t+1)(at^2+bt+d)\).

4) Résous l'équation \(P(t)=0\) et démontre que \(\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\).

5) Déduis-en les valeurs exactes de \(\cos\frac{2\pi}{5}\) et de \(\sin\frac{\pi}{10}\), puis calcule \(\cos^2\frac{\pi}{5}\) de deux manières (directement et par linéarisation) pour vérifier tes résultats.