Dérivation en un point et sur un intervalle

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $h(x)=x^3-2x$. $h'(x)$ est égal à :
a) $3x^2-2$   b) $3x^2-2x$   c) $x^2-2$   d) $3x-2$

2) Avec la même fonction $h$, $h'(2)$ vaut :
a) $10$   b) $8$   c) $12$   d) $6$

3) Soit $h_2(x)=x^2-3x$. L'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $x=1$ est :
a) $y=-x-1$   b) $y=-x+1$   c) $y=x-1$   d) $y=-2x+1$

4) Soit $k(x)=\dfrac1{x+1}$. $k'(x)$ est égal à :
a) $\dfrac{-1}{(x+1)^2}$   b) $\dfrac1{(x+1)^2}$   c) $\dfrac{-1}{x+1}$   d) $\dfrac1{x+1}$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un taxi-brousse effectue le trajet entre deux villes. La distance parcourue (en km), en fonction du temps $t$ (en heures) depuis le départ, est modélisée par $d(t)=-5t^2+50t$ pour $t\in[0;5]$ (le taxi ralentit progressivement en fin de trajet à l'approche de la capitale).

Consigne :

1) Calculer $d'(t)$, qui représente la vitesse instantanée (en km/h) à l'instant $t$.

2) Calculer la vitesse du taxi à $t=1$ h puis à $t=4$ h. Que remarque-t-on ?

3) À quel instant $t\in[0;5]$ la vitesse instantanée est-elle nulle ? Que peut-on en déduire sur le trajet à cet instant ?

Soit $p(x)=x^3-3x+2$, définie sur $\mathbb R$.

Partie A. 1) Calculer $p'(x)$. 2) Résoudre $p'(x)=0$. 3) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $p$ au point d'abscisse $x=2$.

Partie B. 4) Vérifier que $p(1)=0$. En déduire les réels $a,b$ tels que $p(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$, puis résoudre complètement l'équation $p(x)=0$ dans $\mathbb R$.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-4x^2+5x-1\), de courbe représentative \(C\) dans un repère orthonormé. On note \(A\) le point de \(C\) d'abscisse 2.

1) Pour \(h\neq 0\), développe \(f(2+h)\) puis écris le taux d'accroissement \(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\). Démontre que \(f\) est dérivable en 2 et donne \(f'(2)\).

2) Déduis-en une équation de la tangente \(T\) à \(C\) au point \(A\).

3) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)-(x-1)=x(x-2)^2\). Étudie alors la position relative de \(C\) et de \(T\).

4) Utilise l'approximation affine de \(f\) au voisinage de 2 pour donner une valeur approchée de \(f(2{,}01)\). Calcule la valeur exacte et l'erreur commise ; interprète le signe de cette erreur à l'aide de la question 3.

5) Calcule \(f'(x)\) à l'aide des règles de dérivation. Démontre que \(C\) admet exactement un autre point \(B\) où la tangente est parallèle à \(T\), et donne une équation de cette tangente.

Depuis le toit d'un immeuble, à 20 m du sol, on lance un caillou vers le haut. Sa hauteur (en mètres) au-dessus du sol, \(t\) secondes après le lancer, est \(h(t)=-5t^2+15t+20\), tant que le caillou n'a pas touché le sol.

1) Calcule \(h(1)\) et \(h(2)\), puis la vitesse moyenne du caillou entre les instants 1 et 2. Interprète le résultat obtenu.

2) Pour \(k\neq 0\), calcule le taux d'accroissement \(\dfrac{h(1+k)-h(1)}{k}\) et déduis-en la vitesse instantanée \(h'(1)\) du caillou à l'instant 1.

3) Calcule \(h'(t)\) pour tout \(t\). À quel instant la vitesse est-elle nulle ? Démontre, à l'aide de la forme canonique de \(h(t)\), que la hauteur est alors maximale et donne cette hauteur.

4) Détermine l'instant où le caillou touche le sol et sa vitesse à cet instant, en m/s puis en km/h.

5) Utilise l'approximation affine de \(h\) au voisinage de 4 pour estimer la hauteur du caillou à l'instant 3,9 s. Compare avec la valeur exacte.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-2x+5}{x-1}\), de courbe \(C\) dans un repère orthonormé.

1) Démontre que, pour tout \(x\neq 1\), \(f(x)=x-1+\dfrac{4}{x-1}\).

2) Calcule \(f'(x)\) de deux façons : d'abord avec la formule de la dérivée d'un quotient, ensuite avec l'écriture obtenue à la question 1. Vérifie que \(f'(x)=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\).

3) Détermine les points de \(C\) où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

4) Donne une équation de la tangente \(T\) à \(C\) au point \(A\) d'abscisse 2.

5) Démontre qu'il existe un seul autre point \(B\) de \(C\) où la tangente est parallèle à \(T\). Démontre que le milieu de \([AB]\) est le point \(\Omega(1;0)\) et interprète ce résultat.

On note \(g\) la fonction racine carrée, définie sur \([0;+\infty[\) par \(g(x)=\sqrt{x}\).

1) Soit \(a\gt 0\). Pour \(h\neq 0\) tel que \(a+h\geq 0\), démontre que \(\dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}\). Déduis-en que \(g\) est dérivable en \(a\) et que \(g'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\).

2) Écris l'approximation affine de \(\sqrt{25+h}\) pour \(h\) proche de 0. Donne des valeurs approchées de \(\sqrt{25{,}3}\) et de \(\sqrt{24{,}8}\).

3) Démontre que, pour tout \(h\geq -25\), \(\sqrt{25+h}\leq 5+\dfrac{h}{10}\). Démontre ensuite que, pour \(h\geq 0\), l'erreur \(e=5+\dfrac{h}{10}-\sqrt{25+h}\) vérifie \(e\leq \dfrac{h^2}{1000}\).

4) Un champ carré a une aire de 2530 m². Déduis des questions précédentes une valeur approchée de son côté, en précisant l'erreur maximale commise, puis la longueur de clôture nécessaire pour en faire le tour.