Cardinal d'un ensemble fini

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Dans un lycée, 150 élèves pratiquent le football, 90 le basketball, et 40 pratiquent les deux. Combien pratiquent au moins l'un des deux sports ?
a) $200$   b) $240$   c) $150$   d) $280$

2) Un menu de cantine propose 5 entrées et 3 desserts. Le nombre de menus (entrée, dessert) possibles est :
a) $15$   b) $8$   c) $25$   d) $10$

3) Un ensemble $E$ a pour cardinal $4$. Le nombre de parties de $E$ (y compris $\varnothing$ et $E$) est :
a) $16$   b) $8$   c) $24$   d) $4$

4) Un code PIN à 4 chiffres (chiffres de $0$ à $9$, répétitions autorisées) : le nombre de codes possibles est :
a) $10\,000$   b) $5\,040$   c) $210$   d) $40$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Dans un lycée comptant $250$ élèves, $160$ élèves étudient l'anglais renforcé, $95$ étudient l'espagnol, et $30$ étudient les deux langues renforcées à la fois.

Consigne :

1) Combien d'élèves étudient au moins une des deux langues renforcées ?

2) Le proviseur souhaite savoir combien d'élèves n'étudient aucune des deux langues renforcées, afin de leur proposer un club de soutien. Répondre à sa question.

Problème — Codes, digicode et parties d'un ensemble.

Partie A. Un cadenas de vélo utilise un code à $4$ chiffres choisis parmi $\{0,1,\dots,9\}$, les répétitions étant autorisées. 1) Combien de codes différents existe-t-il au total ? 2) Combien de ces codes ont leurs $4$ chiffres deux à deux distincts ?

Partie B. Le digicode d'un immeuble utilise un code de $3$ caractères, chacun choisi parmi les $10$ chiffres et les $26$ lettres de l'alphabet ($36$ symboles au total), répétitions autorisées. Combien de codes différents sont possibles ?

Partie C. Un technicien dispose d'un ensemble $E$ de $8$ clés USB numérotées. Il doit constituer un lot à prêter à un collègue (n'importe quel sous-ensemble de $E$, y compris ne rien prêter ou tout prêter). Combien de lots différents peut-il constituer ?

Un club scientifique compte $60$ lycéens. On note $A$ l'ensemble des membres aimant les mathématiques et $B$ l'ensemble des membres aimant la physique. On donne $\mathrm{Card}(A)=38$, $\mathrm{Card}(B)=29$ et $\mathrm{Card}(A\cup B)=52$.

Partie A. 1) Calculer $\mathrm{Card}(A\cap B)$. 2) En déduire le nombre de membres n'aimant ni l'une ni l'autre matière.

Partie B. Le bureau du club comprend deux postes indépendants : « responsable communication » et « responsable logistique ». Le règlement intérieur n'interdit pas qu'une même personne occupe les deux postes à la fois. 3) Combien de répartitions (responsable communication, responsable logistique) sont possibles parmi les $60$ membres ?

Exercice 4 — Approfondissement

Un comité de $5$ personnes doit être choisi parmi un groupe de $8$ hommes et $6$ femmes.

1) Combien de comités différents peut-on former, sans aucune contrainte ?

2) Combien de comités contiennent exactement $2$ femmes (et donc $3$ hommes) ?

3) Combien de comités contiennent au moins $1$ femme ?

Une coopérative agricole compte 180 membres. On note \(E\) l'ensemble des membres, \(N\) l'ensemble de ceux qui cultivent le niébé et \(S\) l'ensemble de ceux qui cultivent le sésame. On sait que 104 membres cultivent le niébé, 87 cultivent le sésame et 23 ne cultivent ni l'un ni l'autre.

1) Écris l'ensemble des membres qui ne cultivent ni niébé ni sésame à l'aide de \(N\), \(S\) et du complémentaire, puis calcule le cardinal de \(N\cup S\).

2) Calcule le nombre de membres qui cultivent à la fois le niébé et le sésame.

3) Calcule le nombre de membres qui cultivent seulement le niébé, puis seulement le sésame. Justifie que les quatre ensembles \(N\cap S\), \(N\cap\overline{S}\), \(\overline{N}\cap S\) et \(\overline{N}\cap\overline{S}\) forment une partition de \(E\) et contrôle tes résultats.

4) La coopérative compte 75 femmes : 48 cultivent le niébé, 40 le sésame et 9 ne cultivent ni l'un ni l'autre. Combien de femmes cultivent les deux ? Déduis-en le nombre d'hommes qui cultivent les deux.

5) Dresse un tableau à double entrée donnant, pour les femmes et pour les hommes, l'effectif de chacune des quatre catégories de la question 3.

6) Pour une formation, on constitue un binôme \((a\,;b)\) où \(a\) cultive seulement le niébé et \(b\) cultive seulement le sésame. Combien de binômes peut-on former ? Interprète ce nombre comme le cardinal d'un produit cartésien.

On note \(E\) l'ensemble des entiers de 1 à 90. On considère les parties suivantes de \(E\) : \(A\), l'ensemble des multiples de 6 ; \(B\), l'ensemble des multiples de 9 ; \(C\), l'ensemble des multiples de 5.

1) Calcule le cardinal de \(A\) et celui de \(B\).

2) Démontre que \(A\cap B\) est l'ensemble des multiples de 18 qui appartiennent à \(E\). Écris cet ensemble en extension, puis calcule le cardinal de \(A\cup B\).

3) Combien d'éléments de \(E\) sont des multiples de 6 sans être des multiples de 9 ? Combien ne sont multiples ni de 6 ni de 9 ?

4) Écris en extension les ensembles \(A\cap C\) et \(B\cap C\). Justifie que \((A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)\), puis calcule le cardinal de cet ensemble.

5) En écrivant \(A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C\), calcule le cardinal de \(A\cup B\cup C\). Combien d'entiers de 1 à 90 ne sont multiples ni de 5, ni de 6, ni de 9 ?

6) Combien l'ensemble \(A\cap B\) a-t-il de parties ? Combien de ces parties contiennent le nombre 90 ? Justifie.

Une tisserande décore le bord d'un pagne avec une frise de 5 carrés alignés, numérotés de 1 à 5 de gauche à droite. Chaque carré est tissé dans l'une des quatre couleurs de l'ensemble \(E=\{\text{rouge}\,;\text{jaune}\,;\text{vert}\,;\text{noir}\}\). Deux frises sont différentes dès qu'un carré de même numéro n'a pas la même couleur.

1) Explique pourquoi une frise correspond à un 5-uplet d'éléments de \(E\), puis calcule le nombre total de frises possibles.

2) On note \(A\) l'ensemble des frises sans aucun carré rouge. Calcule le cardinal de \(A\), puis le nombre de frises qui ont au moins un carré rouge.

3) On note \(B\) l'ensemble des frises sans aucun carré noir. Décris l'ensemble \(A\cap B\), calcule son cardinal, puis celui de \(A\cup B\).

4) Justifie que l'ensemble des frises qui ont au moins un carré rouge et au moins un carré noir est le complémentaire de \(A\cup B\), puis calcule son cardinal.

5) La tisserande préfère les frises où deux carrés voisins n'ont jamais la même couleur. À l'aide d'un arbre de choix, calcule le nombre de ces frises. Combien d'entre elles commencent par un carré rouge ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé d'origine O. On pose \(E=\{-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\}\) et on note \(G\) l'ensemble des points \(M(x\,;y\,;z)\) dont les trois coordonnées appartiennent à \(E\). On identifie chaque point de \(G\) au triplet de ses coordonnées.

1) Calcule le cardinal de \(G\). Combien de points de \(G\) ont leurs trois coordonnées non nulles ? Combien ont au moins une coordonnée nulle ?

2) On note \(A\) l'ensemble des points de \(G\) situés dans le plan d'équation \(x+y+z=0\). À l'aide d'un tableau à double entrée donnant \(x+y\), démontre que \(\text{card}(A)=19\).

3) On note \(S\) l'ensemble des points de \(G\) situés sur la sphère de centre O et de rayon 3. Démontre qu'un point de \(G\) appartient à \(S\) si et seulement si deux de ses coordonnées ont pour valeur absolue 2 et la troisième a pour valeur absolue 1. Déduis-en le cardinal de \(S\).

4) Démontre que \(A\cap S\) est vide. Calcule alors le cardinal de \(A\cup S\), puis le nombre de points de \(G\) qui ne sont ni dans le plan ni sur la sphère.

5) Combien de points de \(S\) sont dans le plan d'équation \(z=1\) ? Justifie que ces points sont sur un même cercle dont tu préciseras le centre et le rayon.