Arrangements, permutations, combinaisons et binôme

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Un podium (1ʳᵉ, 2ᵉ, 3ᵉ place) doit être établi parmi 10 athlètes lors d'une course scolaire. Le nombre de podiums possibles est :
a) $720$   b) $1\,000$   c) $120$   d) $30$

2) Une délégation de 4 élèves (rôles interchangeables) doit être choisie parmi 12 candidats. Le nombre de délégations possibles est :
a) $495$   b) $11\,880$   c) $20\,736$   d) $66$

3) Dans le développement de $(x+y)^5$, le coefficient de $x^3y^2$ est :
a) $10$   b) $5$   c) $20$   d) $15$

4) Par convention, $0!$ est égal à :
a) $1$   b) $0$   c) indéfini   d) $-1$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Lors de la fête de fin d'année d'un lycée, une tombola est organisée : $8$ lots différents doivent être distribués à $8$ élèves différents, tirés au sort parmi les $40$ élèves participants. Chaque élève tiré ne peut remporter qu'un seul lot, et l'ordre du tirage détermine quel lot chacun reçoit (le premier élève tiré reçoit le lot n°1, le deuxième le lot n°2, etc.).

Consigne :

1) S'agit-il d'un arrangement ou d'une combinaison ? Justifier.

2) Écrire, sans le calculer entièrement, le produit donnant le nombre de répartitions différentes des 8 lots.

3) Le comité change finalement d'avis : les 8 lots sont en réalité identiques (des bons d'achat de même valeur). Écrire, sans le calculer entièrement, le nombre de façons de choisir les 8 élèves gagnants parmi les 40, dans ce nouveau cas.

Problème — $8$ candidats passent un examen oral et sont reçus un par un dans une salle.

Partie A. De combien de façons peut-on établir l'ordre de passage des $8$ candidats ?

Partie B. Parmi ces $8$ candidats, $3$ sont désignés pour représenter leur promotion lors d'une cérémonie officielle, où ils occuperont $3$ sièges numérotés distincts sur l'estrade (siège 1, siège 2, siège 3). Combien de façons y a-t-il de choisir puis de placer ces $3$ candidats sur les $3$ sièges ?

Partie C. Les $5$ candidats restants doivent également être reçus en entretien individuel, dans un ordre précis établi par le jury. Combien d'ordres de passage différents sont possibles pour ces $5$ candidats ?

Problème.

Partie A. Développer $(x-1)^5$ à l'aide de la ligne $n=5$ du triangle de Pascal.

Partie B. Vérifier la relation $\binom62+\binom63=\binom73$.

Partie C. Une coopérative compte $12$ membres. Elle doit former un comité de $5$ membres, sans distinction de rôle entre eux. Combien de comités différents peut-elle former ?

Partie A. Un jury de 3 personnes (rôles interchangeables) doit être formé parmi 15 enseignants d'un lycée pour évaluer un concours de mathématiques. Parmi ces 15 enseignants, 6 enseignent les mathématiques.

1) Combien de jurys de 3 personnes peut-on former parmi les 15 enseignants ?

2) Combien de ces jurys ne comportent aucun professeur de mathématiques ?

3) En déduire le nombre de jurys comportant au moins un professeur de mathématiques.

Partie B. 4) Développer $(2x-3)^4$ à l'aide du triangle de Pascal.

Pour la soirée culturelle d'un lycée, 8 groupes vont se produire l'un après l'autre sur la scène : 5 groupes de musique et 3 troupes de théâtre, tous différents. Le comité d'organisation doit fixer l'ordre de passage.

1) Combien d'ordres de passage différents peut-on établir ?

2) Combien d'ordres de passage font jouer les 3 troupes de théâtre l'une à la suite de l'autre, sans groupe de musique entre elles ?

3) Pour varier le spectacle, le comité veut que deux troupes de théâtre ne passent jamais l'une juste après l'autre. En plaçant d'abord les groupes de musique, détermine le nombre d'ordres de passage possibles.

4) À la fin de la soirée, un jury désigne le premier, le deuxième et le troisième parmi les 8 groupes. Combien de palmarès sont possibles ? Explique pourquoi on compte ici des arrangements et non des combinaisons.

5) Combien de ces palmarès comportent au moins une troupe de théâtre ?

Le club scientifique d'un lycée compte 12 élèves : 7 filles et 5 garçons. Parmi eux se trouvent Awa, qui est une fille, et Issa, qui est un garçon. Le club doit envoyer une délégation de 4 élèves à une rencontre régionale ; tous les membres d'une délégation ont le même rôle.

1) Combien de délégations différentes peut-on former ? Justifie le choix de l'outil de dénombrement.

2) Combien de délégations comprennent exactement 2 filles et 2 garçons ?

3) Combien de délégations comprennent au moins un garçon ?

4) On note \(E_1\) l'ensemble des délégations contenant Awa et \(E_2\) l'ensemble des délégations contenant Issa. Calcule le cardinal de \(E_1\), de \(E_2\) et de \(E_1\cap E_2\), puis déduis-en le nombre de délégations contenant Awa ou Issa. Contrôle ce résultat par une autre méthode.

5) Finalement, la délégation de 4 élèves doit comporter un chef de délégation et un rapporteur, qui sont deux élèves différents. Calcule de deux façons le nombre de délégations ainsi organisées, et explique pourquoi les deux calculs donnent le même résultat.

Cet exercice utilise le triangle de Pascal et la formule du binôme : pour tous réels \(a\) et \(b\) et tout entier naturel \(n\), \((a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+\dots+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^nb^n\).

1) Écris les lignes \(n=4\), \(n=5\) et \(n=6\) du triangle de Pascal. Justifie, à l'aide d'une relation du cours, la valeur de \(C_6^3\) à partir de la ligne \(n=5\).

2) Développe et réduis \((2x-3)^4\). Contrôle ton résultat en remplaçant \(x\) par 1.

3) Sans développer entièrement, détermine le coefficient de \(x^4\) dans le développement de \((3x-2)^6\).

4) Développe \((1+\sqrt{2})^5\) et écris le résultat sous la forme \(p+q\sqrt{2}\), où \(p\) et \(q\) sont des entiers. Déduis-en, sans nouveau calcul, \((1-\sqrt{2})^5\), puis démontre que \((1+\sqrt{2})^5+(1-\sqrt{2})^5\) est un entier.

5) En choisissant bien \(a\) et \(b\) dans la formule du binôme, démontre que \(C_n^0+C_n^1+\dots+C_n^n=2^n\), puis que, pour \(n\geq 1\), \(C_n^0-C_n^1+C_n^2-\dots+(-1)^nC_n^n=0\). Interprète ces deux égalités pour les parties d'un ensemble à \(n\) éléments, et donne le nombre de parties d'un ensemble à 6 éléments qui ont un nombre pair d'éléments.

On place \(n\) points distincts sur un cercle, avec \(n\geq 4\). Une corde est un segment qui joint deux de ces points ; un triangle a pour sommets trois de ces points. Les \(n\) points, joints dans l'ordre où on les rencontre sur le cercle, forment un polygone convexe à \(n\) côtés ; une diagonale est une corde qui n'est pas un côté de ce polygone.

1) On prend \(n=10\). Combien y a-t-il de cordes ? Combien de triangles ? Justifie l'emploi des combinaisons.

2) Toujours pour \(n=10\), on appelle \(P\) l'un des dix points. Combien de triangles ont \(P\) pour sommet ? Combien n'ont pas \(P\) pour sommet ? Quelle relation du cours retrouves-tu ainsi ?

3) Démontre que, pour \(n\) points, le nombre de diagonales est \(C_n^2-n=\dfrac{n(n-3)}{2}\). Donne ce nombre pour \(n=10\).

4) Un polygone convexe possède 54 diagonales. Combien a-t-il de côtés ?

5) Pour quelle valeur de \(n\) y a-t-il exactement deux fois plus de triangles que de cordes ?