Applications : injection, surjection, bijection

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3$. L'application $f$ est :
a) injective seulement   b) surjective seulement   c) bijective   d) ni injective ni surjective

2) Soit $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=x^2+1$. L'application $g$ est :
a) injective   b) surjective   c) bijective   d) ni injective ni surjective

3) Soit $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^2-3$. $(g\circ f)(x)$ est égal à :
a) $4x^2+4x-2$   b) $4x^2+1$   c) $2x^2+2x-3$   d) $4x^2-2$

4) Avec les mêmes $f$ et $g$ qu'en 3), $(f\circ g)(x)$ est égal à :
a) $2x^2-5$   b) $2x^2+5$   c) $4x^2-11$   d) $2x^2-6$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation du karité modélise le coût total de production (en francs CFA) de $x$ kilogrammes de beurre de karité par $C(x) = 500x + 20\,000$, pour $x\in[0;+\infty[$.

Consigne :

1) Montrer que $C$ est une bijection de $[0;+\infty[$ vers $[20\,000;+\infty[$.

2) Déterminer $C^{-1}(y)$ pour $y\geqslant20\,000$.

3) Lors d'une commande, la coopérative a dépensé exactement $145\,000$ FCFA. Combien de kilogrammes ont été produits ?

Problème — Soit $f(x)=3x-2$ et $g(x)=x^2+4x+1$, toutes deux définies sur $\mathbb{R}$.

Partie A. 1) Montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ et déterminer $f^{-1}$. 2) Résoudre l'équation $f(x)=g(0)$.

Partie B. 1) Calculer $(g\circ f)(x)$ et $(f\circ g)(x)$. 2) Résoudre l'équation $(g\circ f)(x)=0$.

Partie C. Étudier le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ (on déterminera ses racines).

Exercice 4 — Approfondissement

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.

1) Calculer $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $]1;+\infty[$.

2) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.

3) En déduire que $f$ réalise une bijection de $]1;+\infty[$ vers un intervalle $J$ à préciser.

4) Déterminer $f^{-1}(y)$ pour $y\in J$.

On considère l'application \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \(f(x)=x^2-6x+5\).

1) Vérifie que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(x-3)^2-4\).

2) Calcule \(f(1)\) et \(f(5)\). L'application \(f\) est-elle injective ? Le réel \(-5\) a-t-il un antécédent par \(f\) ? L'application \(f\) est-elle surjective ?

3) Discute, suivant les valeurs du réel \(\lambda\), le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=\lambda\).

4) On note \(g\) l'application de \([3;+\infty[\) dans \([-4;+\infty[\) définie par \(g(x)=f(x)\). Démontre que \(g\) est bijective et détermine sa réciproque \(g^{-1}\).

5) Calcule \(g(5)\) et \(g^{-1}(0)\), puis \(g^{-1}(5)\). Comment obtient-on la courbe de \(g^{-1}\) à partir de celle de \(g\) dans un repère orthonormé ?

On note \(E\) l'ensemble des cinq élèves Awa, Binta, Cheick, Djénéba et Élie, et \(F\) l'ensemble des quatre clubs du lycée : théâtre, football, lecture et jardinage. L'application \(f\) de \(E\) dans \(F\) associe à chaque élève son club : Awa et Cheick sont au théâtre, Binta et Élie au football, Djénéba à la lecture.

1) Pourquoi \(f\) est-elle bien une application de \(E\) dans \(F\) ? Est-elle injective ? Est-elle surjective ? Justifie.

2) Explique pourquoi aucune application de \(E\) dans \(F\) ne peut être injective.

3) Modifie le club d'un seul élève pour obtenir une application surjective de \(E\) dans \(F\).

4) Combien existe-t-il d'applications de \(E\) dans \(F\) ? Justifie.

5) L'application \(g\) de \(F\) dans \(E\) associe à chaque club son responsable : Awa pour le théâtre, Binta pour le football, Djénéba pour la lecture, Élie pour le jardinage. Étudie l'injectivité et la surjectivité de \(g\), puis détermine l'application \(f\circ g\). Est-ce l'application qui associe chaque club à lui-même ? Interprète.

On considère les applications \(f\), \(g\) et \(h\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définies par \(f(x)=2x+1\), \(g(x)=x^2\) et \(h(x)=\dfrac{x-1}{2}\).

1) Détermine \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\). A-t-on \(g\circ f=f\circ g\) ?

2) Résous l'équation \((g\circ f)(x)=(f\circ g)(x)\).

3) Calcule \((f\circ h)(x)\) et \((h\circ f)(x)\). Que peut-on en déduire pour \(f\) et \(h\) ?

4) L'application \(g\circ f\) est-elle injective ? Justifie à l'aide de deux valeurs bien choisies.

5) Soit \(k\) l'application de \(\left[-\dfrac{1}{2};+\infty\right[\) dans \([0;+\infty[\) définie par \(k(x)=\sqrt{2x+1}\). Écris \(k\) comme la composée de \(f\) suivie d'une autre application, puis démontre que \(k\) est bijective et détermine \(k^{-1}\).

On note \(f\) l'application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \(f(x)=x^3\).

1) Démontre que, pour tous réels \(a\) et \(b\), \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

2) Vérifie que \(a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\). Déduis-en que \(a^2+ab+b^2\) ne peut être nul que si \(a=b=0\).

3) Démontre que \(f\) est injective.

4) On admet que tout réel \(y\) est le cube d'un réel, noté \(\sqrt[3]{y}\). Que peut-on en conclure pour \(f\) ? Calcule \(f^{-1}(8)\), \(f^{-1}(-27)\) et \(f^{-1}\left(\dfrac{1}{8}\right)\).

5) Soit \(g\) l'application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \(g(x)=2x^3-5\). Écris \(g\) comme une composée, justifie que \(g\) est bijective, détermine \(g^{-1}\), puis donne le nombre de solutions de l'équation \(g(x)=\lambda\) pour un réel \(\lambda\) quelconque. Résous-la pour \(\lambda=11\).