Application de la dérivation et bijection

Exercice 1 — QCM autour de $r(x)=x^2-4x+3$ (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $r'(x)$ est égal à :
a) $2x-4$   b) $x-4$   c) $2x-2$   d) $2x+4$

2) $r'(x)$ s'annule en :
a) $x=2$   b) $x=4$   c) $x=-2$   d) $x=0$

3) Sur l'intervalle $[2;5]$, la fonction $r$ est :
a) strictement croissante   b) strictement décroissante   c) constante   d) ni croissante ni décroissante

4) D'après le théorème de la bijection, $r$ réalise une bijection de $[2;5]$ vers :
a) $[-1;8]$   b) $[-4;8]$   c) $[0;8]$   d) $[-1;5]$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un technicien agricole doit déterminer la quantité $x$ (en kg) d'engrais NPK à épandre sur une parcelle, pour que le rendement modélisé par $R(x)=-x^2+10x-9$ (rendement en quintaux, pour $x\in[1;9]$) atteigne exactement $R(x)=15$ quintaux, seuil fixé par la coopérative.

Consigne :

1) Calculer $R'(x)$ et étudier son signe sur $[1;9]$.

2) On se place sur l'intervalle $[5;9]$. Montrer que $R$ y réalise une bijection vers un intervalle que l'on précisera.

3) En déduire s'il existe une unique quantité $x\in[5;9]$ vérifiant $R(x)=15$, puis la déterminer en résolvant l'équation.

Soit $t(x)=x^2-2x-3$, définie sur $\mathbb R$.

Partie A. 1) Étudier le signe de $t'(x)$ et dresser le sens de variation de $t$ (on précisera son minimum). 2) Montrer que l'équation $t(x)=0$ admet une unique solution dans $[3;6]$ à l'aide du théorème de la bijection monotone, puis la déterminer.

Partie B. 3) Factoriser complètement $t(x)$ et en déduire toutes les racines de $t$ sur $\mathbb R$. 4) Sur quel intervalle la courbe de $|t|$ diffère-t-elle de celle de $t$ ?

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-x^3+3x^2+9x-4\).

1) Calcule \(f'(x)\), factorise-la et étudie son signe.

2) Détermine les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), puis dresse le tableau de variations de \(f\).

3) Précise les extremums locaux de \(f\) et les valeurs de \(x\) où ils sont atteints. Justifie qu'il s'agit bien d'extremums.

4) Démontre que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l'intervalle \([-1;3]\), puis que \(0\lt \alpha\lt 0{,}5\).

5) Suivant les valeurs du réel \(m\), détermine le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=m\). Combien de solutions l'équation \(f(x)=0\) a-t-elle sur \(\mathbb{R}\) ?

Un atelier de teinture artisanale produit chaque semaine \(x\) pagnes, avec \(5\leq x\leq 50\). Le coût total de production, en centaines de francs, est \(C(x)=x^2+20x+400\). Chaque pagne est vendu 70 centaines de francs, soit 7 000 francs.

1) Exprime le coût moyen de fabrication d'un pagne \(C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}\) sous la forme \(x+a+\dfrac{b}{x}\).

2) Calcule \(C_M'(x)\) et démontre que \(C_M'(x)=\dfrac{(x-20)(x+20)}{x^2}\). Dresse le tableau de variations de \(C_M\) sur \([5;50]\) et interprète son minimum.

3) On note \(B(x)\) le bénéfice hebdomadaire. Exprime \(B(x)\), étudie ses variations sur \([5;50]\) et détermine la production qui rend le bénéfice maximal, ainsi que ce bénéfice en francs.

4) Démontre que \(B(x)=x\,(70-C_M(x))\). Déduis-en, en résolvant une inéquation, les productions pour lesquelles l'atelier ne perd pas d'argent.

5) Le bénéfice maximal n'est pas obtenu pour la production qui minimise le coût moyen. Explique pourquoi à l'aide des résultats précédents.

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3+3x-5\) et \(g(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{3x^2}{2}-5x+1\).

1) Étudie les variations de \(f\) et ses limites. Démontre que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).

2) Déduis-en que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\), et démontre que \(1{,}15\lt \alpha\lt 1{,}2\).

3) Donne le signe de \(f(x)\) suivant les valeurs de \(x\).

4) Vérifie que \(g'(x)=f(x)\). Déduis-en les variations de \(g\) et démontre que \(g\) admet un minimum en \(\alpha\).

5) En utilisant l'égalité \(\alpha^3=5-3\alpha\), démontre que \(g(\alpha)=\dfrac{3}{4}\alpha^2-\dfrac{15}{4}\alpha+1\). Déduis-en un encadrement de \(g(\alpha)\) d'amplitude 0,1.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-3x^2\), de courbe \(C_f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\).

1) Étudie les variations de \(f\) (dérivée, limites, tableau de variations).

2) On pose \(g(x)=f(x+1)+2\). Démontre que \(g(x)=x^3-3x\) et que \(g\) est impaire. Précise la transformation qui envoie \(C_f\) sur la courbe de \(g\), puis démontre que le point \(\Omega(1;-2)\) est un centre de symétrie de \(C_f\).

3) On pose \(h(x)=|f(x)|\). Étudie le signe de \(f(x)\) et écris \(h(x)\) sans valeur absolue. Explique comment obtenir la courbe de \(h\) à partir de \(C_f\).

4) Étudie la dérivabilité de \(h\) en 0 et en 3. Interprète graphiquement les résultats.

5) Détermine, en justifiant, le nombre de solutions de l'équation \(|f(x)|=2\).