Terminale D · Leçon 7

Nombres Complexes — Partie II

Argument et forme trigonométrique

Argument

\[\cos\!\bigl(\arg z\bigr)=\frac{a}{|z|} \qquad \sin\!\bigl(\arg z\bigr)=\frac{b}{|z|}\]

Propriétés

\[\arg(z\cdot z')=\arg z+\arg z'\pmod{2\pi} \qquad \arg\!\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg z-\arg z'\pmod{2\pi}\]\[\arg(z^n)=n\cdot\arg z\pmod{2\pi} \qquad \arg(\bar{z})=-\arg z\pmod{2\pi}\]

Exemple — \(z=-1+i\sqrt{3}\)

\(|z|=2\), \(\cos\theta=-\frac{1}{2}\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) → \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)

Erreur fréquente

\(\cos\theta=-\frac{1}{2}\) seul ne suffit pas. Le signe du sin est indispensable.

Définition

\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad r=|z|,\;\theta=\arg(z)\]

Forme 1

Algébrique

\(z=a+bi\)

Opérations +, −, égalité

Forme 2

Trigonométrique

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Lecture géométrique

Forme 3

Exponentielle

\(z=re^{i\theta}\)

Puissances, ×, ÷

Méthode en 3 étapes

Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
Résoudre simultanément \(\cos\theta=a/r\) ET \(\sin\theta=b/r\)
Écrire \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

4 cas — un par quadrant

1. \(z=1+i\) : \(r=\sqrt{2}\), \(\theta=\pi/4\)

2. \(z=-1+i\sqrt{3}\) : \(r=2\), \(\theta=2\pi/3\)

3. \(z=-\sqrt{3}-i\) : \(r=2\), \(\theta=-5\pi/6\)

4. \(z=2-2i\) : \(r=2\sqrt{2}\), \(\theta=-\pi/4\)

Produit et quotient

\[z\cdot z'=rr'[\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')] \qquad \frac{z}{z'}=\frac{r}{r'}[\cos(\theta-\theta')+i\sin(\theta-\theta')]\]

Modules : se multiplient. Arguments : s’additionnent.

Point de vigilance

Si \(\cos\theta=-1/2\) seul, deux valeurs sont possibles. Le signe de \(\sin\theta\) est obligatoire.

Forme exponentielle et formule d'Euler

\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)

Valable pour tout réel \(\theta\)

Identité d’Euler

\[e^{i\pi}+1=0\]

Relie les 5 constantes fondamentales : \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\).

Forme exponentielle

\[z = r\,e^{i\theta}\]

Propriétés

\[e^{i\theta}\cdot e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')} \quad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')} \quad (e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\] \[\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta} \quad |e^{i\theta}|=1 \qquad \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\]

Exemples

\(2+2i\sqrt{3}=4e^{i\pi/3}\) \(-i=e^{-i\pi/2}\) \(-2=2e^{i\pi}\)

Formule de Moivre et linéarisation

Formule de De Moivre

\[\bigl[r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr]^n = r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta) \;\Longleftrightarrow\; (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}\]

Exemples de puissances

1. \((1+i)^6=(\sqrt{2})^6 e^{i6\pi/4}=8e^{i3\pi/2}=-8i\)

2. \((\sqrt{3}+i)^{10}=2^{10}e^{i10\pi/6}=512-512\sqrt{3}\,i\)

Via Euler — développer puis regrouper

\[\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2} \qquad \sin^3\theta=\frac{3\sin\theta-\sin 3\theta}{4}\]

\(\cos 3\theta\) et \(\sin 3\theta\) via De Moivre

\(\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\) \(\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)

Figure interactive — Cercle trigonométrique, trois formes et puissances

Point M = re^{iθ} (déplaçable)

Puissances M², M³…

Cercle de rayon r

Projection cos/sin

r = 1.41 θ = π/4 Forme alg. z = 1+1i Forme trigo. z = √2(cos π/4 + i sin π/4) Forme expo. z = √2 · e^{iπ/4}

r = 1.41 θ = 0.785 rad Projections cos/sin Puissances z², z³… Conjugué z̅

Complexes et géométrie : configurations, alignement, orthogonalité

Quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) et géométrie

Condition géométrique	Condition complexe
A, B, C alignés	\(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\)
\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)	quotient imaginaire pur
ABC isocèle rect. en A	quotient \(=\pm i\)
ABC équilatéral	module 1, arg \(=\pm\pi/3\)
ABCD parallélogramme	\(z_A+z_C=z_B+z_D\)
Angle \(\widehat{BAC}\)	\(\arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\)

Exemple 1 — Alignement

\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{2+4i}{1+2i}=2\in\mathbb{R}\;\Rightarrow\;\text{alignés}\]

Exemple 2 — Triangle équilatéral

\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=e^{i\pi/3}\;\Rightarrow\;\text{triangle équilatéral}\]

Écriture complexe des transformations du plan

Translation \(\vec{w}\)

\(z'=z+w\)

Rotation centre O, angle α

\(z'=e^{i\alpha}z\)

Rotation centre Ω, angle α

\(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\)

Homothétie centre O, rapport k

\(z'=kz\)

Similitude directe

\(z'=az+b\)

Symétrie axe réel

\(z'=\bar{z}\)

Formule clé — Rotation centre quelconque

\[z'-\omega = e^{i\alpha}(z-\omega) \;\Longleftrightarrow\; z'=e^{i\alpha}(z-\omega)+\omega\]

Exemples

1. Rotation O, \(\pi/2\), image de \(M(2+i)\) : \(z'=i(2+i)=-1+2i\)

2. Rotation \(\Omega(1+i)\), \(\pi/2\), image de \(M(3)\) : \(z'=i(2-i)+(1+i)=2+3i\)

3. \(z'=(1+i)z+2\) : rapport \(k=\sqrt{2}\), angle \(\pi/4\), centre \(\Omega(2i)\).

Erreur fréquente

Ne pas oublier de soustraire \(\omega\) avant de multiplier par \(e^{i\alpha}\).

Figure interactive — Transformations complexes du plan

Point M (déplaçable)

Image M′

Centre Ω

Trajectoire de M′

z_M = 2+1i z_M′ = -1+2i Formule : z′ = e^{iπ/2}·z

Transformation : α = 90° k = 1.0 Trajectoire

Résumé

Résumé — Ce que le Bac exige (Partie II)

Forme trigonométrique

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Modules ×, arguments +

Formule d’Euler

\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)

\(e^{i\pi}+1=0\)

De Moivre

\((re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}\)

Linéarisation via formules Euler

Géométrie

Aligné : quotient \(\in\mathbb{R}\)

Perp. : quotient im. pur

Transformations

Rot. O : \(z'=e^{i\alpha}z\)

Rot. \(\Omega\) : \(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\)

3 Formes

Algébrique · Trigo. · Expo.

Sujet type Bac

Exercice type Bac — Étude complète en 4 parties

Données : \(A(z_A=1+i)\), \(B(z_B=3+2i)\), \(C(z_C=2+4i)\). Soit \(r\) la rotation de centre \(A\), angle \(\pi/2\).

Partie A — Forme trigonométrique

\[z_B-z_A=2+i \;;\quad r=\sqrt{5} \;;\quad z_B-z_A=\sqrt{5}\!\left(\cos\arctan\tfrac{1}{2}+i\sin\arctan\tfrac{1}{2}\right)\]

Partie B — Nature du triangle

\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4} \;\Rightarrow\; \widehat{BAC}=45°,\;AC=\sqrt{2}\cdot AB\]

Partie C — Image par rotation

\[z_{B'}-z_A=i(2+i)=-1+2i \;\Rightarrow\; z_{B'}=3i \quad \text{Vérif : }|z_{B'}-z_A|=\sqrt{5}\checkmark\]

Partie D — Équation complexe

\(z^2-2(1+i)z+(1+2i)=0\) — \(\Delta=-4\), \(\sqrt{\Delta}=2i\)

\[z_1=1+2i \quad;\quad z_2=1\]

Tombé au Bac

Des exercices de sujets du Bac et de sujets d'entraînement qui portent sur cette leçon, corrigés question par question.

Les 24 sujets qui portent sur cette leçon

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