Exercice 1 — Nombres complexes 4 pts
\(P(Z)=Z^3-(2+2i)Z^2-2Z-8+4i\), dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \((O\,;\vec u\,;\vec v)\) d'unité 2 cm.
1a) Calcul de \(P(2i)\) et recherche de \(a\) et \(b\)
1
On a \((2i)^2=-4\) et \((2i)^3=-8i\). Donc :
\[P(2i)=-8i-(2+2i)(-4)-4i-8+4i=-8i+8+8i-4i-8+4i=0\]
2
\(P(2i)=0\) : \(2i\) est une racine de \(P\), donc \(P(Z)\) se factorise par \(Z-2i\). On développe :
\[(Z-2i)(Z^2+aZ+b)=Z^3+(a-2i)Z^2+(b-2ia)Z-2ib\]
3
On identifie les coefficients avec ceux de \(P(Z)\).
Terme en \(Z^2\) : \(a-2i=-2-2i\), donc \(a=-2\).
Terme constant : \(-2ib=-8+4i\), donc \(b=\dfrac{-8+4i}{-2i}=\dfrac{(-8+4i)\,i}{2}=\dfrac{-8i-4}{2}=-2-4i\).
Contrôle avec le terme en \(Z\) : \(b-2ia=-2-4i+4i=-2\), ce qui est bien le coefficient de \(Z\) dans \(P\).
\(P(2i)=0\), \(a=-2\) et \(b=-2-4i\) : \(P(Z)=(Z-2i)(Z^2-2Z-2-4i)\).
1b) Résolution dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(P(Z)=0\)
2a) Placement des points \(A\), \(B\) et \(C\)
2b) Calcul de \(\dfrac{Z_B-Z_A}{Z_C-Z_A}\) et nature du triangle \(ABC\)
3) Autre écriture de \(f(Z)\)
4a) Ensemble \((E)\) : \(|f(Z)|=\sqrt{2}\)
4b) Ensemble \((F)\) : \(\arg(Z)=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)
4c) Ensemble \((G)\) : \(|f(Z)-(1-i)|=2\sqrt{10}\)
Exercice 2 — Probabilités 4 pts
Un sac contient 6 boules noires, 3 boules vertes et 1 boule rouge, indiscernables au toucher. On tire simultanément 2 boules.
1) Probabilité de tirer deux boules de même couleur
2) Probabilité de tirer au moins une boule verte
3) Loi de probabilité de \(X\)
4a) Loi de probabilité de \(Y\)
4b) Espérance mathématique de \(Y\)
4c) Fonction de répartition de \(Y\)
Problème — Parties A et B : équation différentielle et étude de \(f\) 12 pts
\((E)\) : \(y'-2y=2\left(e^{2x}-1\right)\) sur \(\mathbb{R}\). Puis \(f(x)=(2x-1)e^{2x}+1\) sur \(\mathbb{R}\) ; \((C)\) est sa courbe dans un repère orthonormal d'unité 2 cm.
Données du sujet : \(\ln2\approx0{,}69\) | \(\ln3\approx1{,}1\) | \(e\approx2{,}7\) | \(e^{-1}\approx0{,}36\) | \(e^{-\frac32}\approx0{,}22\) | \(\beta=-3{,}2\) | \(\alpha=1{,}10\).
Valeurs utiles, à la calculatrice : \(e^{-2}\approx0{,}135\) et \(e^{-4}\approx0{,}018\).
Les valeurs \(\beta\) et \(\alpha\) de la ligne « On donne » ne servent dans aucune question de ce problème : aucune équation n'y a de solution notée \(\alpha\) ou \(\beta\).
A.1) Réels \(a\) et \(b\) tels que \(g(x)=axe^{2x}+b\) soit solution de \((E)\)
A.2) \(y=z+g\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(z\) est solution de \((E')\)
A.3) Résolution de \((E')\) et solutions de \((E)\)
A.4) Solution de \((E)\) qui s'annule en \(0\)
B.1a) Limite de \(f\) en \(-\infty\) et asymptote \((D)\)
B.1b) Position relative de \((C)\) et \((D)\) ; point \(A\)
B.2) Limites en \(+\infty\) de \(f(x)\) et de \(\dfrac{f(x)}{x}\)
B.3a) Sens de variation et tableau de variations de \(f\)
B.3b) Signe de \(f\) sur \(\mathbb{R}\)
B.4) Construction de \((C)\) et de \((D)\)
Problème — Parties C et D : intégrales, volume et courbe paramétrée
\(I=\displaystyle\int_{-1}^{\frac12}\bigl[1-f(x)\bigr]dx\), \(J=\displaystyle\int_{-1}^{0}(2x-1)e^{2x}\,dx\), puis \(K\) et le volume \(V\). Enfin \((\delta)\) : \(x(t)=-\dfrac{\ln t}{2}\), \(y(t)=-\dfrac{1+\ln t}{t}+1\), avec \(t\geq1\).
C.1a) Calcul de \(I\) par une intégration par parties
C.1b) Interprétation graphique de \(I\)
C.2) Calcul de \(J\)
C.3) Calcul de \(K\) par une double intégration par parties
C.4a) Expression de \(V\) en fonction de \(J\) et \(K\)
C.4b) Calcul de \(V\)
D.1) Équation cartésienne de \((\delta)\)
D.2) Tracé de \((\delta)\) à partir de \((C)\)
