Exercice 1 — Nombres complexes 4 pts
\(u=\dfrac{3-i}{2+i}+\dfrac{2+i}{i}-3(1-2i)^2-2(2+i)(3+i)\)
1) Calcul de \(u\) : \(u=1-i\)
1
On calcule chaque terme. Premier quotient, en multipliant par le conjugué de \(2+i\) :
\[\frac{3-i}{2+i}=\frac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{6-3i-2i+i^2}{4+1}=\frac{5-5i}{5}=1-i\]
2
Deuxième quotient : \(\dfrac{1}{i}=-i\), donc \(\dfrac{2+i}{i}=(2+i)(-i)=-2i-i^2=1-2i\).
3
\((1-2i)^2=1-4i+4i^2=-3-4i\), donc \(-3(1-2i)^2=9+12i\).
\((2+i)(3+i)=6+2i+3i+i^2=5+5i\), donc \(-2(2+i)(3+i)=-10-10i\).
\[u=(1-i)+(1-2i)+(9+12i)+(-10-10i)=(1+1+9-10)+(-1-2+12-10)\,i\]
\(u=1-i\)
2) Résolution du système d'inconnues \(Z_1\) et \(Z_2\)
3a) Affixe \(u'\) du point \(C'\), image de \(C\) par \(f\)
3b) Autre écriture de \(Z'\)
3c) Interprétation géométrique du module et de l'argument de \(Z'\)
3d) Ensembles \((\Gamma)\), \((\Gamma_2)\) et \((\Gamma_3)\)
Exercice 2 — Probabilités 4 pts
Un sac contient 6 boules noires, 3 boules vertes et 1 boule rouge, indiscernables au toucher. On tire simultanément 2 boules.
1) Probabilité de tirer deux boules de même couleur
2) Probabilité de tirer au moins une boule verte
3) Loi de probabilité de \(X\)
4a) Loi de probabilité de \(Y\)
4b) Espérance mathématique de \(Y\)
4c) Fonction de répartition de \(Y\)
Problème — Parties A et B : étude de la fonction \(f\) 12 pts
\(h(x)=2\ln(-x)\) sur \(]-\infty\,;0[\). Puis \(f(x)=-2x+1+2x\ln|x|\) si \(x<0\) et \(f(x)=(x+2)e^{-x}-1\) si \(x\geq0\) ; \((C)\) est sa courbe dans un repère orthonormé d'unité 1 cm.
Données du sujet : \(\ln2\approx0{,}69\) | \(\ln3\approx1{,}1\) | \(e\approx2{,}7\) | \(e^{-1}\approx0{,}36\) | \(e^{-\frac32}\approx0{,}22\) | \(\beta=-3{,}2\) | \(\alpha=1{,}10\).
A.1) Variations de \(h\) et tableau de variation
A.2) Calcul de \(h(-1)\) et signe de \(h(x)\)
B.1) Limites de \(f\) et interprétation graphique
B.2a) Continuité de \(f\) en \(0\)
B.2b) Dérivabilité de \(f\) en \(0\) et demi-tangentes au point \((0\,;1)\)
B.3a) Calcul de \(f'(x)\)
B.3b) Expression de \(f'(x)\) en fonction de \(h(x)\) pour \(x<0\)
B.3c) Sens de variation et tableau de variation de \(f\)
B.4) L'équation \(f(x)=0\) admet deux solutions \(\alpha\) et \(\beta\)
B.5) Construction de \((C)\), des demi-tangentes et de l'asymptote
B.6a) Aire \(\mathcal{A}(\lambda)\), en cm², par intégration par parties
B.6b) Limite de \(\mathcal{A}(\lambda)\) lorsque \(\lambda\) tend vers \(0\)
Problème — Parties C et D : bijection réciproque et courbe paramétrée
\(g\) est la restriction de \(f\) à \(I=\,]-\infty\,;-1[\). Puis \((\delta)\) : \(x(t)=-\dfrac{\ln t}{2}\), \(y(t)=-\dfrac{1+\ln t}{t}+1\), avec \(t\geq1\).
C.1) \(g\) réalise une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\)
C.2) Tableau de variation de \(g^{-1}\)
C.3) Construction de la courbe \((C')\) de \(g^{-1}\)
D.1) Équation cartésienne de \((\delta)\)
D.2) Tracé de \((\delta)\)
