Terminale D · Leçon 8

Équations Différentielles

Équations différentielles : vocabulaire, solution, condition initiale

Définition

Équation dont l’inconnue est une fonction, faisant intervenir cette fonction et ses dérivées.

Différence fondamentale

Type	Équation	Inconnue	Solution
Algébrique	\(2x+3=7\)	Un nombre	\(x=2\)
Différentielle	\(y'=2y\)	Une fonction	\(y(x)=Ce^{2x}\)

Solutions et Problème de Cauchy

Solution générale : famille de fonctions paramétrées par \(C\in\mathbb{R}\)
Condition initiale (CI) : \(y(x_0)=y_0\) → détermine \(C\) de façon unique
Problème de Cauchy : équation + CI → solution unique

\[y'=2y,\quad y(0)=3 \;\longrightarrow\; y(x)=3e^{2x}\]

Exemples du programme

\(y'=3y\) → Type 1 (homogène)
\(y'=-2y+6\) → Type 2 (second membre constant)
\(y'+3y=9\) → Type 2 après mise en forme

Méthode en 4 étapes

Calculer \(y'(x)\)
Calculer \(ay(x)+b\)
Vérifier \(y'=ay+b\) pour tout \(x\)
Vérifier la CI

Exemple 1 — \(y=3e^{2x}-1\) solution de \(y'=2y+2\), \(y(0)=2\)

\(y'=6e^{2x}\) ; \(2y+2=2(3e^{2x}-1)+2=6e^{2x}\) ✓ ; \(y(0)=3-1=2\) ✓

Exemple 2 — \(y=5+2e^{-3x}\) solution de \(y'+3y=15\)

\(y'=-6e^{-3x}\) ; \(y'+3y=-6e^{-3x}+15+6e^{-3x}=15\) ✓

Exemple 3 — Trouver \(C\) avec \(y(0)=7\)

\(y=Ce^{-t}+3\) solution de \(y'+y=3\) pour tout \(C\). CI : \(C+3=7\) → \(C=4\) → \(y=4e^{-t}+3\)

Équations y′ = ay

Solution générale — À retenir absolument

\[y' = ay \;\Longrightarrow\; y(x) = C\,e^{ax} \quad (C\in\mathbb{R})\]

Démonstration rapide

\[\frac{y'}{y}=a \;\Rightarrow\; (\ln|y|)'=a \;\Rightarrow\; y=Ce^{ax}\]

Vérif : si \(y=Ce^{ax}\), alors \(y'=aCe^{ax}=ay\). ✓

Comportement selon le signe de \(a\)

\(a\)	Comportement (\(C>0\))
\(a>0\)	Croissance exponentielle → +∞
\(a=0\)	Constante \(y=C\)
\(a<0\)	Décroissance exponentielle → 0

Résoudre \(y'=ay\) avec \(y(x_0)=y_0\)

\[y(x)=y_0\,e^{a(x-x_0)}\]

Exemples

1. \(y'=3y\), \(y(0)=2\) : \(y=2e^{3x}\). Vérif : \(y'=6e^{3x}=3y\) ✓

2. \(y'=-y\), \(y(1)=5\) : \(y=5e^{-(x-1)}\)

3. \(2y'=5y\), \(y(0)=3\) : \(y'=\frac{5}{2}y\) → \(y=3e^{2{,}5x}\)

4. \(y'+4y=0\), \(y(2)=-1\) : \(y=-e^{-4(x-2)}\)

Figure interactive — Famille de solutions de \(y' = ay\)

Courbe y = Ce^{ax}

Famille complète

Tangente en M

Point M (déplaçable)

a = 2.00 C = 1.00 y(0) = 1.00 Comportement : croissance vers +∞ Pente en M : y′ = —

a = 2.0 C = 1.0 Famille complète Tangente en M

Équations y′ = ay + b et second membre

Méthode de résolution — 3 étapes

Équilibre : \(y'=0\) → \(y_{\text{eq}}=-b/a\)
Homogène associée : \(y'=ay\) → \(y_h=Ce^{ax}\)
Solution générale : \(y=Ce^{ax}-b/a\)

Solution générale — À retenir absolument

\[y' = ay+b \;(a\neq 0) \;\Longrightarrow\; y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}\]

Vérification

\[y'=aCe^{ax} \;;\quad ay+b=a\!\left(Ce^{ax}-\tfrac{b}{a}\right)+b=aCe^{ax} \;\checkmark\]

Formule avec CI \(y(x_0)=y_0\)

\[y(x)=\!\left(y_0+\frac{b}{a}\right)e^{a(x-x_0)}-\frac{b}{a}\]

Exemples

1. \(y'=2y+3\), \(y(0)=1\) : équilibre \(-3/2\), \(C=5/2\) → \(y=\frac{5}{2}e^{2x}-\frac{3}{2}\)

2. \(y'=-y+4\), \(y(0)=2\) : équilibre 4, \(C=-2\) → \(y=4-2e^{-x}\) → tend vers 4

3. \(y'+3y=6\), \(y(1)=0\) : \(y'=-3y+6\), équilibre 2 → \(y=2(1-e^{-3(x-1)})\)

4. \(3y'-6y=9\), \(y(0)=-2\) : \(y'=2y+3\), \(C=-1/2\) → \(y=-\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{3}{2}\)

Figure interactive — Solutions de \(y' = ay + b\) et droite d’équilibre

Courbe y = Ce^{ax} − b/a

Famille (C variable)

Droite d’équilibre

Point CI

a = −1.00 b = 4.00 C = −2.00 Équilibre y_eq = 4.00 Comportement : convergence vers y_eq (a < 0)

a = −1.0 b = 4.0 C = −2.0 Famille complète

Type 1 — Homogène

\(y' = ay\)

Sol. : \(y=Ce^{ax}\)
Ex. : \(y'=3y\), \(2y'+y=0\)

Type 2 — Second membre

\(y' = ay+b\)

Sol. : \(y=Ce^{ax}-b/a\)
Ex. : \(y'=2y+3\), \(y'+y=4\)

Reconnaissance rapide

Équation	Forme standard	Type	\(a\)	\(b\)
\(y'+2y=0\)	\(y'=-2y\)	1	\(-2\)	\(0\)
\(3y'=y\)	\(y'=\frac{1}{3}y\)	1	\(\frac{1}{3}\)	\(0\)
\(y'+y=5\)	\(y'=-y+5\)	2	\(-1\)	\(5\)
\(2y'-4y=6\)	\(y'=2y+3\)	2	\(2\)	\(3\)
\(y'=\frac{y-2}{3}\)	\(y'=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\)	2	\(\frac{1}{3}\)	\(-\frac{2}{3}\)

Pièges fréquents

\(y'+3y=6\) → \(a=+3\) ✘ → \(y'=-3y+6\) donc \(a=-3\)
\(y'=2y+3\) → solution \(Ce^{2x}+\frac{3}{2}\) ✘ → le signe est \(-b/a=-\frac{3}{2}\)
Confondre \(e^{ax}\) et \(ae^x\)

Modélisation par une équation différentielle (physique, croissance)

Méthode — Du phénomène à l’équation

Identifier la grandeur \(y(t)\)
« Vitesse de variation » → \(y'(t)\) ; « proportionnel à \(y\) » → \(ay\)
Écrire l’équation, identifier \(a\) et \(b\)
Identifier la CI (état initial)
Résoudre et interpréter

Désintégration Radioactive

\[N'(t)=-kN(t) \;\Rightarrow\; N(t)=N_0 e^{-kt}\]

Demi-vie : \(T_{1/2}=\ln 2/k\)

Circuit RC

\[q'=-\frac{q}{\tau}+\frac{E}{R} \;\Rightarrow\; q(t)=CE\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\]

Équilibre \(q_{\infty}=CE\)

Refroidissement — Newton

\[T'=-k(T-T_a) \;\Rightarrow\; T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}\]

Équilibre : température ambiante \(T_a\)

Croissance de Population

\[P'=rP \;\Rightarrow\; P(t)=P_0 e^{rt}\]

Croissance exponentielle (modèle Malthus)

Problème complet — Refroidissement d’un café

\(T_0=90°C\), \(T_a=20°C\), \(k=0{,}05\) min\(^{-1}\).

\[T(t)=20+70\,e^{-0{,}05t}\]

a) \(T(10)=20+70e^{-0{,}5}\approx 62{,}4°C\)

b) \(T=50°C\) → \(t=5\ln 6\approx 16{,}9\) min

Résumé

Résumé — Ce que le Bac exige

Type 1 — \(y'=ay\)

Sol. : \(y=Ce^{ax}\)

Avec CI : \(y=y_0 e^{a(x-x_0)}\)

\(a<0\) : décroissance vers 0

Type 2 — \(y'=ay+b\)

Sol. : \(y=Ce^{ax}-b/a\)

Équilibre : \(y_{\text{eq}}=-b/a\)

\(a<0\) : convergence

Mise en forme

Ramener à \(y'=ay+b\)

Identifier \(a\) et \(b\) (signes !)

Condition initiale

Substituer \(y(x_0)=y_0\)

Résoudre pour \(C\)

Vérification

Calculer \(y'\) et \(ay+b\)

Vérifier l’égalité + CI

Physique

« Proportionnel » → \(ay\)

« Vitesse de variation » → \(y'\)

Équilibre = état stable

Sujet type Bac

Exercice type Bac — Médicament dans le sang

Contexte : \(C'(t)=-0{,}2\,C(t)+1{,}6\), \(C(0)=8\) mg/L.

Partie A — Identification

Type 2 : \(a=-0{,}2\), \(b=1{,}6\). Équilibre : \(-b/a=8\).

Partie B — Solution générale

\(C(t)=Ke^{-0{,}2t}+8\). Vérif : \(C'=-0{,}2Ke^{-0{,}2t}\) ; \(-0{,}2C+1{,}6=-0{,}2Ke^{-0{,}2t}\) ✓

Partie C — CI \(C(0)=8\)

\(K+8=8\) → \(K=0\) → \(C(t)=8\) (déjà à l’équilibre).

Partie D — CI \(C(0)=2\)

\(K+8=2\) → \(K=-6\) → \(C(t)=-6e^{-0{,}2t}+8\)

Partie E — Comportement et temps

\(a=-0{,}2<0\) : \(C(t)\to 8\) mg/L quand \(t\to+\infty\).

\(C(t)=7\) : \(e^{-0{,}2t}=1/6\) → \(t=5\ln 6\approx 8{,}96\) h

Tombé au Bac

Des exercices de sujets du Bac et de sujets d'entraînement qui portent sur cette leçon, corrigés question par question.

Les 8 sujets qui portent sur cette leçon

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