Terminale D · Leçon 2
Les Suites Numériques
Suites : définition, modes de génération
Une suite numérique est une application de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\). À tout entier naturel \(n\) on associe un réel \(u_n\), appelé terme de rang \(n\). On note la suite \((u_n)\) ou \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
\(u_n\) s'exprime directement en fonction de \(n\) : \(u_n = f(n)\).
Exemples : \(u_n=3n+5\) · \(u_n=2^n\) · \(u_n=\dfrac{1}{n+1}\) · \(u_n=n^2-3n+2\)
On connaît le premier terme et une relation \(u_{n+1}=f(u_n)\) :
\[\begin{cases}u_0=a\\u_{n+1}=f(u_n)\end{cases}\]
Exemples : \(\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=u_n+3\end{cases}\) (arithmétique) · \(\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1}=2u_n\end{cases}\) (géométrique)
Construire un tableau \(n\mid u_n\) en partant de \(u_0\) et en appliquant la relation pas à pas. On ne peut pas "sauter" au rang \(n\) directement : il faut passer par \(u_1, u_2, \ldots, u_{n-1}\).
Suites monotones, majorées, minorées, bornées
- Croissante : \(u_{n+1}\geq u_n\) pour tout \(n\)
- Décroissante : \(u_{n+1}\leq u_n\) pour tout \(n\)
- Méthode 1 — différence : signe de \(u_{n+1}-u_n\) — universelle, toujours applicable
- Méthode 2 — rapport : comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1 — uniquement si tous les termes sont strictement positifs
- Méthode 3 — fonction associée : si \(u_n=f(n)\), étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([0;+\infty[\)
Étudions \(u_n=n^2-4n\) :
\[u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-4(n+1)-(n^2-4n)=2n-3\]
\(u_{n+1}-u_n\geq 0\Leftrightarrow n\geq\frac{3}{2}\), soit \(n\geq 2\). Donc décroissante pour \(n\leq 1\), croissante pour \(n\geq 2\).
Le rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) n'est valide que si tous les termes sont strictement positifs. En présence de termes négatifs, le signe du rapport peut induire en erreur : utiliser la différence.
- Majorée : \(\exists M\in\mathbb{R},\;\forall n,\;u_n\leq M\)
- Minorée : \(\exists m\in\mathbb{R},\;\forall n,\;u_n\geq m\)
- Bornée : majorée et minorée, i.e. \(m\leq u_n\leq M\) pour tout \(n\)
Exemples : \(u_n=\frac{1}{n+1}\) bornée · \(u_n=n^2\) minorée non majorée · \(u_n=(-1)^n\) bornée
Figure interactive — Visualisation d'une suite
Choisissez un type et cliquez Tracer
Points (n, uₙ) représentés en bleu. La droite rouge en tirets indique la borne inférieure visible. Modifiez les paramètres pour observer croissance, décroissance, bornage.
Raisonnement par récurrence
Méthode pour démontrer qu'une propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier \(n\geq n_0\)
- Initialisation : vérifier que \(\mathcal{P}(n_0)\) est vraie.
- Hérédité : supposer \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un certain \(n\geq n_0\) (hypothèse de récurrence), puis démontrer \(\mathcal{P}(n+1)\) en utilisant cette hypothèse.
- Conclusion : "D'après le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout \(n\geq n_0\)."
- Oublier l'initialisation — démonstration incomplète, note = 0
- Ne pas utiliser l'hypothèse de récurrence — écrire explicitement "par hypothèse de récurrence, \(u_n=\ldots\)" avant de l'utiliser
- Omettre la conclusion globale — phrase finale indispensable pour le correcteur
Démontrons que pour tout \(n\geq 1\) : \(\displaystyle 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\)
Init. : Pour \(n=1\) : \(1=\frac{1\times 2}{2}=1\). Vrai.
Hér. : Supposons \(1+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\). Alors :
\[1+\cdots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\]
Correspond à la formule au rang \(n+1\). Vrai.
Concl. : Par récurrence, \(1+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) pour tout \(n\geq 1\).
Suite : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=3u_n+2\). Montrons que \(u_n=2\times 3^n-1\).
Init. : \(u_0=1\) et \(2\times 3^0-1=1\). Vrai.
Hér. : Supposons \(u_n=2\times 3^n-1\). Alors :
\[u_{n+1}=3(2\times 3^n-1)+2=6\times 3^n-1=2\times 3^{n+1}-1\]
Correspond à la formule au rang \(n+1\). Vrai.
Concl. : Par récurrence, \(u_n=2\times 3^n-1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Sur la copie, écrire "par H.R." ou "par hypothèse de récurrence" au-dessus du signe "=" au moment où vous l'utilisez. Le correcteur doit voir clairement ce moment-clé.
Suites arithmétiques : terme général et somme
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(u_{n+1}=u_n+r\), soit \(r=u_{n+1}-u_n=\text{constante}\).
\[u_n=u_0+n\cdot r \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_p+(n-p)\cdot r\]
Sens : \(r>0\) → croissante · \(r<0\) → décroissante · \(r=0\) → constante
Somme de \(u_0\) à \(u_n\) (\(n+1\) termes) :
\[S_n=(n+1)\times\frac{u_0+u_n}{2}=(n+1)\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\]
\(u_0=3\), \(r=5\) → \(u_n=3+5n\) → \(u_{10}=53\).
Somme des 11 premiers termes : \(S_{10}=11\times\dfrac{3+53}{2}=11\times 28=\mathbf{308}\)
Gauss : \(1+2+\cdots+100=100\times\dfrac{1+100}{2}=\mathbf{5050}\)
Nombre de termes × moyenne des extrêmes. Pour compter les termes entre \(u_p\) et \(u_q\) inclus : \(q-p+1\) termes.
La somme \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) contient \((n+1)\) termes, pas \(n\). Cette erreur de décalage d'indice est systématiquement sanctionnée.
Suites géométriques : terme général et somme
\((u_n)\) est géométrique de raison \(q\neq 0\) si \(u_{n+1}=q\cdot u_n\), soit \(q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\text{constante}\).
\[u_n=u_0\times q^n \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_p\times q^{n-p}\]
Somme de \(u_0\) à \(u_n\) (si \(q\neq 1\)) :
\[S_n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
Si \(q=1\) : \(S_n=(n+1)\,u_0\)
\(u_0=2\), \(q=3\) → \(u_n=2\times 3^n\) → \(u_5=486\).
Somme : \(S_5=2\times\dfrac{1-3^6}{1-3}=2\times\dfrac{-728}{-2}=\mathbf{728}\)
\(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) est invalide pour \(q=1\) (division par zéro). Dans ce cas utiliser \(S_n=(n+1)\,u_0\).
- Arithmétique \(\Leftrightarrow\) \(u_n=\dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}\)
- Géométrique \(\Leftrightarrow\) \(u_n^2=u_{n-1}\times u_{n+1}\)
Figure interactive — Arithmétique vs Géométrique
Comparez la croissance linéaire (arithmétique, bleu) et la croissance exponentielle (géométrique, or). Pour |q|<1 la suite géométrique tend vers 0.
Suites arithmético-géométriques et suite auxiliaire
\((u_n)\) est arithmético-géométrique si \(\begin{cases}u_0=a\\u_{n+1}=b\cdot u_n+c\end{cases}\) avec \(b\neq 0\), \(b\neq 1\), \(c\neq 0\).
Cas dégénérés : \(b=1\) → arithmétique · \(c=0\) → géométrique
- Point fixe \(\ell\) : résoudre \(\ell=b\ell+c\) → \(\ell=\dfrac{c}{1-b}\)
- Suite auxiliaire : poser \(v_n=u_n-\ell\) et montrer \(v_{n+1}=b\cdot v_n\) (géométrique de raison \(b\))
- Exprimer \(v_n\) : \(v_n=(u_0-\ell)\times b^n\)
- Revenir à \(u_n\) : \(u_n=(u_0-\ell)\times b^n+\ell\)
Suite : \(u_0=5\), \(u_{n+1}=2u_n+3\).
1. \(\ell=2\ell+3\Rightarrow\ell=-3\)
2. \(v_n=u_n+3\) → \(v_{n+1}=2v_n\) (géom. raison 2)
3. \(v_0=8\) → \(v_n=8\times 2^n\)
\[u_n=8\times 2^n-3\]
Suite : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\tfrac{1}{2}u_n+4\). Point fixe \(\ell=8\).
\[u_n=8-7\times\left(\frac{1}{2}\right)^n\]
Pour montrer que \(v_{n+1}=bv_n\), il faut utiliser l'égalité \(\ell=b\ell+c\) pour faire disparaître la constante. Sans cette manipulation, le calcul ne se simplifie pas.
Figure interactive — Toile d'araignée (suite arithmético-géométrique)
Si |b|<1 la toile spirale vers le point fixe (convergence). Si |b|>1 elle s'en éloigne (divergence). Le point fixe ℓ=c/(1−b) est l'intersection de y=bx+c et y=x.
Limite d'une suite, convergence, limites usuelles
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\) : la suite est convergente. Elle peut diverger sans avoir de limite : \(u_n=(-1)^n\) oscille entre −1 et 1.
| Suite \(u_n\) | Limite en \(+\infty\) |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{n^p}\) (\(p>0\)) | 0 |
| \(n^p\) (\(p>0\)) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(|q|<1\) | 0 |
| \(q^n\) si \(q>1\) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(q=1\) | 1 |
| \(q^n\) si \(q\leq-1\) | Pas de limite |
Si \(|q|<1\) alors \(q^n\to 0\). Exemples : \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0\), \((0{,}9)^n\to 0\), \((-0{,}3)^n\to 0\). Si \(|q|>1\) la suite diverge.
Les formes \(+\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\) ne peuvent pas être calculées directement.
Exemple : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2-4}=\lim\frac{n^2(3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2})}{n^2(5-\frac{4}{n^2})}=\frac{3}{5}\)
Théorèmes de convergence : monotone bornée, gendarmes, suites adjacentes
- Toute suite croissante et majorée converge
- Toute suite décroissante et minorée converge
Si \(u_n\leq v_n\leq w_n\) et \(\lim u_n=\lim w_n=\ell\), alors \(\lim v_n=\ell\).
Exemple : \(-\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{\sin n}{n}\leq\dfrac{1}{n}\) et les extrêmes → 0, donc \(\displaystyle\lim\frac{\sin n}{n}=0\).
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si : \((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante, \(\lim(v_n-u_n)=0\). Elles convergent alors vers la même limite \(\ell\) avec \(u_n\leq\ell\leq v_n\).
Quand une suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\ell=f(\ell)\) : la limite est le point fixe de la relation.
Résumé
\(u_{n+1}=u_n+r\) · \(u_n=u_0+nr\) · \(S_n=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}\)
\(u_{n+1}=qu_n\) · \(u_n=u_0q^n\) · \(S_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Point fixe \(\ell=\frac{c}{1-b}\) · \(v_n=u_n-\ell\) géométrique · \(u_n=(u_0-\ell)b^n+\ell\)
Croissante + majorée → converge · Décroissante + minorée → converge · Limite = point fixe
\(|q|<1\Rightarrow q^n\to 0\) · \(q>1\Rightarrow q^n\to+\infty\) · \(q\leq-1\) → pas de limite
1. Initialisation · 2. Hérédité (avec H.R. explicite) · 3. Conclusion globale
Sujet type Bac
Énoncé : Soit \((u_n)\) définie par \(\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2\end{cases}\).
A. Premiers termes : \(u_1=\frac{10}{3}\approx 3{,}33\) · \(u_2=\frac{28}{9}\approx 3{,}11\) — La suite semble décroissante et converger vers 3.
B. Bornage par récurrence — \(\mathcal{P}(n):u_n>3\)
Init. : \(u_0=4>3\). Vrai.
Hér. : Si \(u_n>3\), alors \(u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2>\frac{1}{3}(3)+2=3\). Vrai.
Concl. : \(u_n>3\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Variations : \(u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}u_n+2=2\!\left(1-\frac{u_n}{3}\right)<0\) car \(u_n>3\). Donc \((u_n)\) est décroissante et minorée par 3 → converge.
C. Suite auxiliaire : \(v_n=u_n-3\) → \(v_{n+1}=\frac{1}{3}v_n\) → \(v_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n\).
\[u_n=3+\left(\frac{1}{3}\right)^n\]
D. Limite : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=3+0=\mathbf{3}\)
Tombé au Bac
Des exercices de sujets du Bac et de sujets d'entraînement qui portent sur cette leçon, corrigés question par question.