Exercice 1 — Nombres complexes (4 pts)
$P(z) = z^3 - (1+2i)z^2 - 3z + 2i - 1$
1) Déterminer la racine réelle $z_0$ de $P$
1
Pour $z_0 \in \mathbb{R}$, on regroupe partie réelle et partie imaginaire de $P(z_0)$ :
$$P(z_0) = \bigl(z_0^3 - z_0^2 - 3z_0 - 1\bigr) + i\bigl(-2z_0^2 + 2\bigr) = 0$$
2
Partie imaginaire nulle : $-2z_0^2 + 2 = 0 \Rightarrow z_0^2 = 1 \Rightarrow z_0 = \pm 1$
3
Vérification pour $z_0 = -1$ : $(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) - 1 = -1-1+3-1 = 0$ ✓
4
Vérification pour $z_0 = 1$ : $1-1-3-1 = -4 \neq 0$ ✗
$z_0 = -1$
2) Factorisation — déterminer $a$, $b$, $c$ tels que $P(z) = (z+1)(az^2+bz+c)$
3) Résolution complète de $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$
4a–b) Points $A$, $B$, $C$ et image $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$
4c) $Z = \dfrac{z_A}{z_A - z_B}$ — Nature du triangle $OAB$
Exercice 2 — Géométrie dans l'espace (4 pts)
$A(-2;-1;2)$, $B(6;-5;3)$, $C(-1;3;10)$, $\vec{u} = \begin{pmatrix}-4\\-7\\4\end{pmatrix}$
1a) Calcul de $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
1b–d) Nature du triangle $ABC$
2) Colinéarité de $\vec{u}$ et $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$
3) Norme et aire de $(ABC)$
4) Point $D(1;1;1)$ — Coplanarité et volume du tétraèdre
Problème — Partie A (12 pts)
$g(x) = (1-x)e^x - 1$ définie sur $\mathbb{R}$
1) Variations de $g$
2) Valeur de $g(0)$ et signe de $g$
Problème — Partie B
$f(x) = \dfrac{x}{e^x-1}+2$ pour $x\neq0$, $f(0)=3$. On admet $f'(0)=-\tfrac{1}{2}$.
1a) Limite de $f$ en $-\infty$
1b) Limite de $f$ en $+\infty$ — asymptote horizontale
2) Asymptote oblique $y=-x+2$ en $-\infty$
3) Calcul de $f'(x)$ et lien avec $g$
4) Sens de variation de $f$
5) Tangente $(T)$ en $x=0$ et tracé de $(C)$
Problème — Partie C
$h(x)=f(x)-x=\dfrac{x}{e^x-1}+2-x$ pour $x\neq0$, $h(0)=3$.
Données : $\ln2=0{,}69$ ; $\ln10=2{,}3$ ;
$e^2\approx7{,}39$ ; $e^{2{,}5}\approx12{,}18$
$\dfrac{1}{e^2-1}\approx0{,}15$ ; $\dfrac{1}{e^{2{,}5}-1}\approx0{,}09$ ;
$(e^2-1)^2\approx40{,}83$ ; $(e^{2{,}5}-1)^2\approx125$.
1) Existence et unicité de $\alpha\in\,]2;2{,}5[$
2a) $g(x)>-20$ et $(e^x-1)^2\geq40$ sur $I=[2;2{,}5]$
2b) $-\dfrac{1}{2}\leq f'(x)\leq0$ sur $I$
3a) Suite $(u_n)$ : encadrement de $|u_{n+1}-\alpha|$
3c–d) Convergence de $(u_n)$ et rang $n_0$
