Exercice 1 — Nombres complexes 4 pts
1) Racines carrées de $u=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}$
1
$|u|=\dfrac{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{4}}{2}=1$ et $\arg(u)=\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}\right)=\arctan(\sqrt{3})=\dfrac{\pi}{3}$.
Donc $u=e^{i\pi/3}$ (module 1, argument $\pi/3$).
2
$\sqrt{u}=\pm e^{i\pi/6}=\pm\!\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=\pm\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\right)$
Racines carrées de $u$ : $\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}$ et $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}$
2) Résolution de $z^2+(\sqrt{3}-7i)z-4(3+i\sqrt{3})=0$
3) Points $A$, $B$, $C$ et nature du triangle $ABC$
4) Application $f(Z)$ — ensembles $(E)$ et $(D)$
Exercice 2 — Probabilités 4 pts
Sac : 4 pièces de 500 F et 6 pièces de 200 F. Tirage simultané de 3 pièces. $X$ = nombre de pièces de 500 F.
1) Probabilité de $A$ = « 1 pièce de 500 F et 2 de 200 F »
2) Loi de probabilité de $X$ et espérance
3) Répétition 5 fois indépendantes : $P(A$ se réalise exactement 3 fois)
Problème — Partie A 12 pts
$f(x)=\dfrac{xe^x}{e^x+1}$ si $x\leq0$ et $f(x)=x^2\ln x-x^2$ si $x>0$
Données : $e^{-1{,}28}=0{,}278$ ; $e^{-1{,}27}=0{,}2808$ ; $e^{0{,}5}\approx1{,}7$ ; $e=2{,}7$ ; $f(\alpha)=-0{,}28$.
1) Continuité et dérivabilité en $0$
2) $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ — comportement en $+\infty$
3) Fonction $g(x)=e^x+x+1$ — signe et encadrement de $\alpha$
4) Limites de $f$ aux bornes
5) Dérivée, signe et tableau de variations complet
Problème — Partie B
$J_n=\displaystyle\int_n^{n+1}f(t)\,dt$ pour $n\geq3$
1) Interprétation géométrique de $J_n$
2) $J_n\geq f(n)$ et divergence de $(J_n)$
3) Aire entre $(C)$, l'axe $Ox$, $x=1$ et $x=e$
Problème — Partie C
$x(t)=e^t$, $\;y(t)=e^{2t}(t-1)$, $t\in\mathbb{R}$
1) Trajectoire de $M$ — partie de $(C)$
2) Vecteur vitesse $\vec{v}(t)$
