Terminale D · Leçon 12

Géométrie dans l'Espace

Vecteurs et repères de l'espace, coplanarité

Repère orthonormé de l'espace

Un repère de l'espace est formé d'un point origine \(O\) et de trois vecteurs non coplanaires \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\). Si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de norme 1, le repère est orthonormé, noté \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).

Visualisation — Coin d'une salle de classe

\(O\) = coin au sol (origine)
\(\vec{i}\) longe le mur de gauche (premier axe horizontal)
\(\vec{j}\) longe le mur du fond (deuxième axe horizontal)
\(\vec{k}\) monte vers le plafond (axe vertical)

Formules fondamentales

Notion	Formule
Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)	\(\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}\)
Distance \(AB\)	\(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
Milieu \(I\) de \([AB]\)	\(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\)
Norme \(\\|\vec{u}\\|\)	\(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Somme \(\vec{u}+\vec{v}\)	\((x+x'\,;\,y+y'\,;\,z+z')\)
Produit \(k\vec{u}\)	\((kx\,;\,ky\,;\,kz)\)

Exemple — \(A(1;2;3)\) et \(B(4;6;1)\)

\(\overrightarrow{AB}=(3\,;\,4\,;\,-2)\) · \(AB=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}\) · \(I=\left(\dfrac{5}{2}\,;\,4\,;\,2\right)\)

Produit scalaire dans l'espace, orthogonalité, vecteur normal

Définition analytique

Le produit scalaire de \(\vec{u}(x;y;z)\) et \(\vec{v}(x';y';z')\) est :

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\]

Propriétés algébriques

Commutativité : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\)
Distributivité : \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\)
Homogénéité : \((k\vec{u})\cdot\vec{v}=k(\vec{u}\cdot\vec{v})\)
Carré : \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2\)

Orthogonalité et angle

\[\vec{u}\perp\vec{v}\;\Longleftrightarrow\;\vec{u}\cdot\vec{v}=0\]

\[\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|} \quad\Rightarrow\quad \theta=\arccos\!\left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|}\right) \quad \theta\in[0;\pi]\]

Exemple 1 — Orthogonalité

\(\vec{u}(2;3;1)\) et \(\vec{v}(1;-2;4)\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2-6+4=0\) → orthogonaux.

Exemple 2 — Angle

\(\vec{u}(1;2;2)\) et \(\vec{v}(2;1;2)\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2+2+4=8\), \(\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|=3\)

\[\cos\theta=\frac{8}{9} \quad\Rightarrow\quad \theta=\arccos\!\left(\tfrac{8}{9}\right)\approx 27{,}3°\]

Exemple 3 — Vecteur perpendiculaire à deux vecteurs

Trouver \(\vec{n}(a;b;c)\) orthogonal à \(\vec{u}(1;2;-1)\) et \(\vec{v}(3;0;2)\) :

\[\begin{cases}a+2b-c=0\\3a+2c=0\end{cases}\]

On prend \(a=2\) → \(c=-3\) → \(b=-\frac{5}{2}\). Solution entière : \(\vec{n}(4;-5;-6)\).

Droites et plans de l'espace : représentations, positions relatives, intersections

Représentation paramétrique

La droite passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(a;b;c)\) :

\[\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\\z=z_A+ct\end{cases} \quad t\in\mathbb{R}\]

\(t=0\) → point \(A\) · \(t=1\) → point \(A+\vec{u}\) · \(t\in\mathbb{R}\) → toute la droite.

Vérifier l'appartenance d'un point \(M\)

Substituer les coordonnées de \(M\) dans les 3 équations.
Chercher une valeur de \(t\) vérifiant les 3 équations simultanément.
Si une telle valeur existe : \(M\in(d)\). Sinon : non.

Droite passant par deux points \(A\) et \(B\)

Calculer \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\).
Utiliser \(A\) comme point de référence.
Écrire les équations paramétriques avec \(\overrightarrow{AB}\).

Exemple — Droite \((AB)\) avec \(A(1;2;3)\) et \(B(3;1;7)\)

\(\overrightarrow{AB}=(2;-1;4)\). Représentation : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=3+4t\end{cases}\)

\(M(5;0;11)\) : \(t=2\) vérifie les 3 équations → \(M\in(AB)\).

Vecteur normal — Équation cartésienne

Un vecteur \(\vec{n}\) est normal à un plan \(\mathcal{P}\) s'il est orthogonal à tout vecteur du plan.

Tout plan admet une équation : \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\). Le vecteur \(\vec{n}(a;b;c)\) est le vecteur normal.

Méthode A — Point + vecteur normal

L'équation est \(ax+by+cz+d=0\) — les coefficients sont ceux de \(\vec{n}\).
Substituer les coordonnées du point connu pour trouver \(d\).

Exemple A — Plan par \(A(1;2;3)\), \(\vec{n}(2;-1;4)\)

\(2x-y+4z+d=0\). Point \(A\) : \(2-2+12+d=0\) → \(d=-12\).

\[\boxed{2x-y+4z-12=0}\]

Méthode B — Trois points non alignés \(A\), \(B\), \(C\)

Calculer \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\).
Trouver \(\vec{n}(a;b;c)\) avec \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\).
Fixer une coordonnée (ex. \(a=1\)) et résoudre le système.
Appliquer la méthode A pour trouver \(d\).

Exemple B — Plan par \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\)

\(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1;0;1)\). Système : \(-a+b=0\) et \(-a+c=0\) → \(a=b=c=1\).

Point \(A\) : \(1+d=0\) → \(d=-1\).

\[\boxed{x+y+z-1=0}\]

Figure 1 — Repère 3D, droite paramétrique et plan \((ABC)\)

Cliquer-glisser pour faire pivoter · Molette pour zoomer

A(2 ; 1 ; 3) B(4 ; 2 ; 1) C(1 ; −1 ; 2) Plan (ABC) : 5x − 4y + 3z − 15 = 0 n⃗(5 ; −4 ; 3) P(t) = ( 2.00 ; 1.00 ; 3.00 )

Paramètre t : 0.0 Plan (ABC) Vecteur normal Points A, B, C

Repère orthonormé 3D. Points A(2;1;3), B(4;2;1), C(1;−1;2). Droite paramétrique \((AB)\) en or — le curseur \(t\) déplace \(P(t)\) le long de la droite. Plan \((ABC)\) avec son vecteur normal \(\vec{n}(5;-4;3)\) en rouge. La construction illustre : \(\overrightarrow{AB}=(2;1;-2)\), équation du plan \(5x-4y+3z-15=0\).

Tableau complet des critères

Relation	Condition vectorielle
Droites \((d_1)\parallel(d_2)\)	Vecteurs directeurs \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) colinéaires
Droites \((d_1)\perp(d_2)\)	\(\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0\)
Droite \((d)\parallel\mathcal{P}\)	\(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\)
Droite \((d)\perp\mathcal{P}\)	\(\vec{u}\) et \(\vec{n}\) colinéaires
Plans \(\mathcal{P}_1\parallel\mathcal{P}_2\)	\(\vec{n_1}\) et \(\vec{n_2}\) colinéaires
Plans \(\mathcal{P}_1\perp\mathcal{P}_2\)	\(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0\)

Règle d'or : Parallélisme → vecteurs colinéaires · Orthogonalité → produit scalaire nul.

Exemple — Droite perpendiculaire au plan

La droite \((d)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2;-1;4)\) est-elle perpendiculaire à \(\mathcal{P}: 2x-y+4z=5\) ?

Vecteur normal : \(\vec{n}(2;-1;4)=\vec{u}\) → colinéaires → oui, perpendiculaire.

Confusion fréquente — Parallèle vs perpendiculaire

Pour droite parallèle au plan : \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) — la droite est "dans" la direction du plan, donc orthogonale au normal.

Pour droite perpendiculaire au plan : \(\vec{u}\) colinéaire à \(\vec{n}\) — la droite a la même direction que le vecteur normal.

Intersection droite / plan — Substitution

Écrire les équations paramétriques de la droite.
Substituer dans l'équation cartésienne du plan.
Résoudre en \(t\).

Résultat en \(t\)	Interprétation
Solution unique \(t_0\)	Un point d'intersection — substituer \(t_0\)
Équation toujours vraie	Droite incluse dans le plan
Équation impossible	Droite parallèle au plan (sans intersection)

Exemple — Droite et plan \(x+y+z-1=0\)

Droite : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=3+4t\end{cases}\)

\[(1+2t)+(2-t)+(3+4t)-1=0\;\Rightarrow\;5+5t=0\;\Rightarrow\;t=-1\]

Point : \((-1\,;\,3\,;\,-1)\)

Intersection de deux plans

Poser \(z=t\) (paramètre libre).
Résoudre le système de 2 équations en \(x\) et \(y\).
Exprimer \(x\), \(y\) en fonction de \(t\) → représentation paramétrique de la droite d'intersection.

Exemple — \(\mathcal{P}_1: x+y+z=1\) et \(\mathcal{P}_2: x-y+2z=0\)

Posons \(z=t\). Somme : \(2x=1-3t\) → \(x=\frac{1-3t}{2}\). Différence : \(2y=1+t\) → \(y=\frac{1+t}{2}\).

\[\begin{cases}x=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}t\\[4pt]y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\[4pt]z=t\end{cases}\]

Distance d'un point à un plan, projeté orthogonal

Formule — Distance point-plan

Distance du point \(M(x_M;y_M;z_M)\) au plan \(\mathcal{P}: ax+by+cz+d=0\) :

\[d(M,\mathcal{P})=\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

Application en 4 étapes

Mettre le plan sous forme \(ax+by+cz+d=0\) (tout à gauche).
Numérateur : substituer \(x_M,y_M,z_M\) et prendre la valeur absolue.
Dénominateur : \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) — norme du vecteur normal.
Diviser.

Deux oublis fatals

Ne pas oublier la valeur absolue au numérateur ni la racine carrée au dénominateur — ce sont les deux erreurs les plus fréquentes sur ce type de question.

Exemple — Distance de \(M(1;2;3)\) au plan \(2x-y+2z-5=0\)

Num. : \(|2-2+6-5|=1\) · Dén. : \(\sqrt{4+1+4}=3\)

\[d(M,\mathcal{P})=\frac{1}{3}\]

Projeté orthogonal d'un point sur un plan

Le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal{P}\) est le point \(H\in\mathcal{P}\) tel que \((MH)\perp\mathcal{P}\).

Trouver le projeté \(H\)

Le vecteur directeur de \((MH)\) est le vecteur normal \(\vec{n}\) du plan.
Écrire la droite passant par \(M\) de direction \(\vec{n}\).
Calculer l'intersection de cette droite avec \(\mathcal{P}\) → c'est \(H\).

Exemple — Projeté de \(M(1;2;3)\) sur \(x+y+z-1=0\)

Droite \((MH)\) : direction \(\vec{n}(1;1;1)\) → \(\begin{cases}x=1+t\\y=2+t\\z=3+t\end{cases}\)

Intersection : \((1+t)+(2+t)+(3+t)-1=0\) → \(t=-5/3\)

\[H\!\left(-\tfrac{2}{3}\,;\,\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{4}{3}\right)\]

Distance d'un point à une droite

Paramétrer la droite : point générique \(P(t)\).
Écrire \(\overrightarrow{MP}(t)\) et résoudre \(\overrightarrow{MP}\cdot\vec{u}=0\) → trouver \(t_0\).
\(H=P(t_0)\) est le projeté de \(M\) sur la droite.
\(d(M,(d))=MH\).

Exemple — Distance de \(M(1;0;2)\) à \(\begin{cases}x=2t\\y=t\\z=2t\end{cases}\)

\(\overrightarrow{MP}=(2t-1\,;\,t\,;\,2t-2)\), \(\vec{u}(2;1;2)\).

\(2(2t-1)+t+2(2t-2)=0\;\Rightarrow\;9t=6\;\Rightarrow\;t=2/3\)

\(H(4/3\,;\,2/3\,;\,4/3)\), \(MH=\|(1/3\,;\,2/3\,;\,-2/3)\|=\sqrt{1/9+4/9+4/9}=1\)

Figure 2 — Distance point-plan et projeté orthogonal \(H\)

Cliquer-glisser pour faire pivoter · Molette pour zoomer

Plan : 2x − y + z − 4 = 0 M = (1.0 ; 2.0 ; 3.0) H = ( — ) |2x−y+z−4| = — d(M, P) = —

x_M : 1.0 y_M : 2.0 z_M : 3.0 Segment MH Normale en H Plan

Plan \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\) en bleu. Point \(M\) (or) déplacé par les curseurs. Projeté orthogonal \(H\) (vert) = pied de la perpendiculaire de \(M\) sur le plan. Segment \(MH\) (rouge) est perpendiculaire au plan. La distance \(d(M,\mathcal{P})=\frac{|2x_M-y_M+z_M-4|}{\sqrt{6}}\) est calculée en temps réel.

Sphère : équation, sections planes, plan tangent

Équation d'une sphère

La sphère de centre \(\Omega(a;b;c)\) et rayon \(R>0\) :

\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\]

Forme développée et retrouver centre/rayon

Forme développée : \(x^2+y^2+z^2+\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\)

\[\Omega=\left(-\frac{\alpha}{2}\,;\,-\frac{\beta}{2}\,;\,-\frac{\gamma}{2}\right) \qquad R=\sqrt{\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{4}-\delta}\]

Exemple 1 — Écrire l'équation de la sphère de centre \(\Omega(1;2;-1)\), rayon 3

\[(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9\]

Développé : \(x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0\)

Exemple 2 — Trouver centre et rayon de \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+9=0\)

Compléter le carré : \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4+1+9-9=5\)

Centre : \(\Omega(2;-1;3)\), Rayon : \(R=\sqrt{5}\)

Position d'un point et intersection sphère/plan

Condition	Position de \(M\)
\(\Omega M < R\)	Intérieur de la sphère
\(\Omega M = R\)	Sur la sphère
\(\Omega M > R\)	Extérieur de la sphère

Intersection sphère/plan : soit \(d=d(\Omega,\mathcal{P})\). Si \(d < R\) → cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\). Si \(d=R\) → tangence. Si \(d > R\) → aucune intersection.

Exemple — Sphère \((x-1)^2+(y-2)^2+z^2=9\) et plan \(z=2\)

Centre \(\Omega(1;2;0)\), \(R=3\). Distance \(\Omega\) au plan \(z=2\) : \(d=2\). Comme \(d=2<R=3\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\).

Résumé

Résumé — Formules essentielles

Distances

\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)

\(d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

Produit scalaire

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\)

\(\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\)

Orthogonalité : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)

Droite paramétrique

\(\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\)

Vecteur directeur \(\vec{u}(a;b;c)\)

Plan cartésien

\(ax+by+cz+d=0\)

Vecteur normal \(\vec{n}(a;b;c)\)

Trouver \(d\) : substituer un point connu.

Parallélisme / Orthogonalité

Parallèle → vecteurs colinéaires

Orthogonal → produit scalaire nul

Droite \(\perp\) plan → \(\vec{u}\parallel\vec{n}\)

Sphère

\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)

Sphère \(\cap\) plan : cercle si \(d < R\)

Rayon : \(r=\sqrt{R^2-d^2}\)

Sujet type Bac

Exercice type Bac — Étude complète en 4 parties

Dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), soient \(A(2;1;3)\), \(B(4;2;1)\), \(C(1;-1;2)\) et le plan \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\).

Partie A — Calculs préliminaires

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(AB\).

\[\overrightarrow{AB}=(2;1;-2) \quad;\quad \overrightarrow{AC}=(-1;-2;-1) \quad;\quad AB=\sqrt{4+1+4}=3\]

2. \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?

Si colinéaires : \(\overrightarrow{AC}=k\cdot\overrightarrow{AB}\) → composante \(x\) : \(k=-1/2\), composante \(y\) : \(k=-2\). Contradiction → non alignés.

Partie B — Équation du plan \((ABC)\)

3. Trouver un vecteur normal à \((ABC)\).

Système \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\) : \(\begin{cases}2a+b-2c=0\\-a-2b-c=0\end{cases}\) → \(\vec{n}(5;-4;3)\).

Équation : \(5(x-2)-4(y-1)+3(z-3)=0\) → \(\boxed{5x-4y+3z-15=0}\)

Partie C — Position relative

4. La droite \((AB)\) est-elle parallèle à \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\) ?

\(\vec{n_P}(2;-1;1)\). Test : \(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n_P}=4-1-2=1\neq0\) → non parallèle.

Partie D — Distance et projeté

5. Distance du point \(A\) au plan \(\mathcal{P}\) :

\[d(A,\mathcal{P})=\frac{|2(2)-1(1)+1(3)-4|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{|4-1+3-4|}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\]

Tombé au Bac

Des exercices de sujets du Bac et de sujets d'entraînement qui portent sur cette leçon, corrigés question par question.

Les 5 sujets qui portent sur cette leçon

Exercices corrigés13 corrigés Quiz de la leçon25 questions