Terminale D · Leçon 4

Fonction Exponentielle

Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques

Définition — Fonction réciproque de ln

La fonction exponentielle, notée \(\exp\), est la réciproque de \(\ln\). Définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0\,;\,+\infty[\) :

\[y=\exp(x)\Longleftrightarrow x=\ln(y)\]

Fonctions réciproques — les deux identités fondamentales

\[\exp(\ln(x))=x\quad\text{pour tout }x>0\]

\[\ln(\exp(x))=x\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]

Notation \(e^x\) et nombre d'Euler

On note \(\exp(x)=e^x\) où \(e\) est le nombre d'Euler :

\[e=\exp(1)\approx 2{,}718\,281\,828\ldots\]

Valeurs remarquables — à mémoriser

Expression	Valeur exacte	Approximation	Justification
\(e^0\)	1	exactement 1	\(\ln(1)=0\)
\(e^1\)	\(e\)	\(\approx 2{,}718\)	définition de \(e\)
\(e^2\)	\(e^2\)	\(\approx 7{,}389\)	\(\ln(e^2)=2\)
\(e^{-1}\)	\(\dfrac{1}{e}\)	\(\approx 0{,}368\)	\(e^{-1}=\frac{1}{e}\)
\(e^{1/2}\)	\(\sqrt{e}\)	\(\approx 1{,}649\)	\(e^{1/2}=\sqrt{e}\)
\(e^{\ln(5)}\)	5	exactement 5	réciproque

Réflexe — \(e^{\ln(k)}=k\)

\(e^{\ln(7)}=7\) car \(\ln(7)\) est précisément le réel \(x\) tel que \(e^x=7\). Ce raisonnement circulaire est la clé de toutes les simplifications.

Figure interactive — Courbe de \(y=e^x\), asymptote et symétrie avec ln

y = eˣ

y = ln(x)

y = x

y = ln(x) Axe de symétrie y = x Points remarquables

La courbe de eˣ est l'image de celle de ln par symétrie par rapport à y=x. Elle est définie sur ℝ, strictement positive, et admet y=0 comme asymptote horizontale en −∞.

Principe général

Dans l'exposant, + et − se transforment en × et ÷ quand on sort de l'exponentielle.

Théorème — Pour tous \(a,b\in\mathbb{R}\), \(n\in\mathbb{Z}\)

Règle	Formule	Sens
Produit	\(e^{a+b}=e^a\times e^b\)	Somme → produit
Quotient	\(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\)	Différence → quotient
Puissance	\(e^{na}=(e^a)^n\)	Produit → puissance
Inverse	\(\dfrac{1}{e^a}=e^{-a}\)	Inverse → opposé
Racine	\(\sqrt{e^a}=e^{a/2}\)	Racine → exposant ÷ 2
Neutre	\(e^0=1\)	Exposant nul → valeur 1

Les 2 erreurs les plus classiques du Bac

\(e^{a+b}\neq e^a+e^b\) — FAUX : c'est \(e^a\times e^b\)

\(e^{ab}\neq e^a\times e^b\) — FAUX : c'est \((e^a)^b\)

Exemples de simplification

a) \(e^3\times e^5=e^8\) b) \(\dfrac{e^7}{e^4}=e^3\) c) \((e^2)^3=e^6\) d) \(\dfrac{1}{e^{-5}}=e^5\)

e) \(e^{2x}\times e^{-x}\times e^{3x}=e^{4x}\)

f) \(\dfrac{e^{3x+1}\cdot e^{2-x}}{e^{x+3}}=\dfrac{e^{2x+3}}{e^{x+3}}=e^x\)

Stratégie de simplification

(1) Regrouper les produits (additionner les exposants) → (2) Transformer les quotients (soustraire les exposants) → (3) Simplifier le résultat.

Étude de la fonction exponentielle : limites, dérivée, variations

Propriété fondamentale

\[e^x>0\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]

\(e^x=0\) est impossible. \(e^x<0\) est impossible.

Conséquence immédiate pour les dérivées

Dans \(f'(x)=(2x-1)e^x\), le signe de \(f'\) est celui de \(2x-1\) uniquement, car \(e^x>0\) ne change jamais de signe.

Théorème — Dérivée de l'exponentielle

La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :

\[(e^x)'=e^x\]

Cas composé — si \(u\) est dérivable :

\[(e^{u(x)})'=u'(x)\cdot e^{u(x)}\]

Erreur fréquente

\((e^x)'\neq x\cdot e^{x-1}\) — la règle des puissances ne s'applique pas à l'exponentielle.

Pour \((e^{u(x)})'\), ne jamais oublier de multiplier par \(u'(x)\).

Exemples de dérivées

1. \(f(x)=e^{3x}\) → \(f'(x)=3e^{3x}\)

2. \(f(x)=e^{x^2}\) → \(f'(x)=2x\cdot e^{x^2}\)

3. \(f(x)=e^{-2x+5}\) → \(f'(x)=-2e^{-2x+5}\)

4. \(f(x)=(x^2+1)e^x\) — produit :

\[f'(x)=2x\cdot e^x+(x^2+1)\cdot e^x=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2\]

5. \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\) — quotient :

\[f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\]

Toujours factoriser \(e^x\) dans la dérivée

Puisque \(e^x>0\), seul le signe du polynôme restant détermine le signe de la dérivée. Factoriser \(e^x\) simplifie systématiquement l'étude du signe.

Monotonie

\(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

\[e^a<e^b\Longleftrightarrow a<b\qquad e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b\]

Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=e^x\) et propriété \(f'=f\)

y = eˣ

Tangente en A

Point a : a = 0,00 | f(a) = eᵃ = 1,000 | f′(a) = eᵃ = 1,000

Propriété unique : la pente de la tangente en a est f′(a)=eᵃ, égale à la valeur f(a)=eᵃ. En aucun autre point de cette courbe la dérivée ne diffère de la valeur.

Limites fondamentales

\[\lim_{x\to-\infty}e^x=0\quad\text{(AH : }y=0\text{)}\qquad\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\]

\[\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0\qquad\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty\qquad\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\]

Croissances comparées — L'exponentielle gagne toujours

En \(+\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0\]

En \(-\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :

\[\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^x=0\]

Hiérarchie des fonctions en \(+\infty\)

\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)

Applications

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3}=+\infty\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{100}}{e^x}=0\)

3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2 e^x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{e^x}=3\lim\frac{x^2}{e^x}=0\)

Figure interactive — Croissances comparées : \(e^x\) vs \(x^n\) vs \(\ln(x)\)

y = eˣ

y = xⁿ

y = ln(x)

n = 2 ln(x) Rapport xⁿ/eˣ → 0 Quelle que soit n, eˣ finit toujours par dépasser xⁿ

Changez n pour voir que eˣ dépasse toujours xⁿ pour x suffisamment grand. Le rapport xⁿ/eˣ tend vers 0 : c'est le résultat des croissances comparées.

Croissances comparées

Théorème 1 — En \(+\infty\)

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0\qquad\forall n>0\]

\(\ln(x)\) croît beaucoup plus lentement que toute puissance de \(x\).

Théorème 2 — En \(0^+\)

\[\lim_{x\to 0^+}x^n\ln(x)=0\qquad\forall n>0\]

Applications

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0\)

3. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty\)

Hiérarchie des fonctions en \(+\infty\)

\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)

Figure interactive — Croissances comparées : \(\ln(x)\) vs \(\sqrt{x}\) vs \(x\)

y = ln(x)

y = √x

y = x

Afficher ln(x)/x et ln(x)/√x → 0 Zoomez vers +∞ pour observer que ln(x) est écrasé par √x et x

En zoomant vers +∞, ln(x) semble "s'aplatir" par rapport à √x et x. Activez les rapports pour voir concrètement qu'ils tendent vers 0.

Équations et inéquations avec l'exponentielle

Principe général

Tout repose sur : (1) \(e^x>0\) toujours et (2) \(e^x\) strictement croissante. Pas de condition de domaine à vérifier.

Cas A — \(e^{A(x)}=e^{B(x)}\)

\[e^{A(x)}=e^{B(x)}\Longleftrightarrow A(x)=B(x)\]

Ex. 1 : \(e^{2x+1}=e^{5-x}\Rightarrow 2x+1=5-x\Rightarrow x=\frac{4}{3}\)

Ex. 2 : \(e^{x^2-3x}=1=e^0\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0\text{ ou }x=3\)

Cas B — \(e^{A(x)}=k\)

\[e^{A(x)}=k\Longleftrightarrow A(x)=\ln(k)\quad(k>0\text{ seulement})\]

Si \(k\leq 0\) : pas de solution (car \(e^x>0\) toujours).

Ex. : \(e^{3x-2}=5\Rightarrow 3x-2=\ln 5\Rightarrow x=\dfrac{\ln 5+2}{3}\)

Cas C — Inéquations

\[e^{A(x)}>k\Longleftrightarrow A(x)>\ln(k)\quad(k>0)\]

Ex. : \(e^{2x-1}\geq 7\Rightarrow 2x-1\geq\ln 7\Rightarrow x\geq\dfrac{\ln 7+1}{2}\)

Ex. : \(e^{-x}<2\Rightarrow -x<\ln 2\Rightarrow x>-\ln 2\)

Inversion du sens d'inégalité

\(-x<\ln(2)\overset{\times(-1)}{\Longleftrightarrow}x>-\ln(2)\) — multiplier par un nombre négatif inverse le sens.

Cas D — Produit nul avec exponentielle

\[P(x)\cdot e^{Q(x)}=0\Longleftrightarrow P(x)=0\]

Ex. : \((x-2)e^x=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Bilan des 4 cas au Bac

A. \(e^A=e^B\) → égaliser les exposants B. \(e^A=k>0\) → appliquer ln C. \(e^A=k\leq 0\) → impossible D. Produit → facteur polynomial seul.

Résumé

Résumé — Fonction Exponentielle

Définition & Valeurs

Réciproque de ln · Définie sur \(\mathbb{R}\) · \(e^x>0\) toujours · \(e^0=1\), \(e^1=e\approx2{,}718\)

Algèbre

\(e^{a+b}=e^a e^b\) · \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\) · \((e^a)^n=e^{na}\) · \(\frac{1}{e^a}=e^{-a}\) · \(e^0=1\)

Dérivées

\((e^x)'=e^x\) · \((e^u)'=u'e^u\) · Factoriser \(e^x\) · Signe = signe du polynôme

Limites & Croissances

\(e^{-\infty}=0\), \(e^{+\infty}=+\infty\) · \(\frac{e^x}{x^n}\to+\infty\) · \(\frac{x^n}{e^x}\to 0\) · \(x^n e^x\to 0\) en \(-\infty\)

Équations — 4 cas

A: \(e^A=e^B\to A=B\) · B: \(e^A=k>0\to A=\ln k\) · C: \(k\leq 0\to\emptyset\) · D: \(P(x)e^Q=0\to P=0\)

Réflexes Bac

Factoriser \(e^x\) · AH si limite finie · Croissances comparées pour FI · Pas de domaine à vérifier

Sujet type Bac

Exercice type Bac — Étude complète

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2x-3)e^x+1\).

Valeurs remarquables : \(f(0)=-2\) · \(f(1)=1-e\approx-1{,}72\)

Dérivée — produit \((uv)'=u'v+uv'\) :

\[f'(x)=2e^x+(2x-3)e^x=e^x(2+2x-3)=(2x-1)e^x\]

Signe de \(f'\) : \(e^x>0\) toujours → signe de \(2x-1\) seul.

Limites :

\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0+1=1\) (croissances comparées : \((2x-3)e^x\to 0\)) → AH : \(y=1\)

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)

Tableau de variations : minimum en \(x=\frac{1}{2}\) : \(f\!\left(\frac{1}{2}\right)=(1-3)\sqrt{e}+1=1-2\sqrt{e}\approx-2{,}30\)

\(x\)	\(-\infty\)		\(\frac{1}{2}\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		−	0	+
\(f(x)\)	1	↘	\(1-2\sqrt{e}\)	↗	\(+\infty\)

Asymptote horizontale en \(-\infty\) : \(y=1\).

Position : \(f(x)-1=(2x-3)e^x\) · négatif pour \(x<\frac{3}{2}\), nul en \(x=\frac{3}{2}\), positif pour \(x>\frac{3}{2}\).

Points remarquables : \(A(0\,;\,-2)\) · traversée de l'AH en \(\left(\frac{3}{2}\,;\,1\right)\)

Tangente en \(x=0\) : \(f(0)=-2\), \(f'(0)=-1\) → \(T:y=-x-2\)

Tombé au Bac

Des exercices de sujets du Bac et de sujets d'entraînement qui portent sur cette leçon, corrigés question par question.

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