Terminale D · Leçon 7
Nombres Complexes — Partie II
Exercices corrigés
Forme exponentielle — formule d'Euler
Exercice 1 — Forme exponentielle
Formule d'Euler : $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.
Écrire sous forme $re^{i\theta}$ ($r>0$, $\theta\in]{-\pi;\pi}]$) :
1. $z_1=1+i$ 2. $z_2=-\sqrt{3}+i$ 3. $z_3=-2i$
Mettre sous forme algébrique : $z_4=3e^{i\pi/6}$
Voir le corrigé
- $|z_1|=\sqrt{2}$, $\arg=\dfrac{\pi}{4}$ → $\boxed{z_1=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}}$
- $|z_2|=2$, $\arg=\dfrac{5\pi}{6}$ → $\boxed{z_2=2\,e^{i5\pi/6}}$
- $|z_3|=2$, $\arg=-\dfrac{\pi}{2}$ → $\boxed{z_3=2\,e^{-i\pi/2}}$
- $z_4=3\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\right)=\boxed{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i}$
Puissances et formule de De Moivre
Exercice 2 — De Moivre
$(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$
1. $(1+i)^8$ 2. $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\right)^{12}$ 3. Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ : exprimer $\cos3\theta$, $\sin3\theta$.
Voir le corrigé
- $1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ → $(1+i)^8=16e^{i2\pi}=\boxed{16}$
- $e^{i\pi/6}$ → $(e^{i\pi/6})^{12}=e^{i2\pi}=\boxed{1}$
- $\boxed{\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta}$ · $\boxed{\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta}$
De Moivre et formules trigonométriques
Exercice 3 — Trigonométrie via De Moivre
1. Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^4$ : $\cos4\theta$ et $\sin4\theta$.
2. Exprimer $\cos4\theta$ en fonction de $\cos\theta$ seul.
3. Montrer $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$.
4. Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta$.
Voir le corrigé
- $\cos4\theta=\cos^4\theta-6\cos^2\theta\sin^2\theta+\sin^4\theta$ · $\sin4\theta=4\cos\theta\sin\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)$
- $\boxed{\cos4\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1}$
- $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ → $\cos^2\theta=\frac{2\cos2\theta+2}{4}=\boxed{\dfrac{1+\cos2\theta}{2}}$
- $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{1+\cos2\theta}{2}d\theta=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\boxed{\dfrac{\pi}{4}}$
Forme trigonométrique — module et argument — type Bac
Exercice 5 — Forme trigonométrique — niveau Bac
On rappelle : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.
On donne $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} - i$.
1. Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$. En déduire $|z_1 z_2|$ et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|$.
2. Déterminer $\arg(z_1)$ et $\arg(z_2)$ en utilisant les valeurs du cercle trigonométrique.
3. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.
4. En déduire $\arg(z_1 z_2)$ et $\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)$. Vérifier en calculant $z_1 z_2$ algébriquement.
5. Placer $z_1$, $z_2$, $z_1 z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$ dans le plan de Gauss.
Transformations du plan complexe — type Bac
Exercice 5 — Similitude : $f(z)=(1+i)z+2-i$
1. Rapport $k$, angle 2. Point fixe $\Omega$ 3. $f(1+2i)$ 4. Image de $|z-1|=2$ 5. $f\circ f$
Géométrie dans le plan complexe — niveau Bac
Exercice 6 — Géométrie dans $\mathbb{C}$
$A(2)$, $B(2i)$, $C(-1+i)$. Calculer $\dfrac{b-a}{c-a}$, nature du triangle, parallélogramme $ABDC$, centre de gravité, ensemble $\left|\dfrac{z-a}{z-b}\right|=1$.
Somme de 1 et d'une exponentielle complexe : forme algébrique et forme exponentielle
On considère les nombres complexes \(u=e^{i\frac{\pi}{3}}\) et \(z=1+u\).
1) Écris \(u\), puis \(z\), sous forme algébrique.
2) Calcule le module et un argument de \(z\), puis écris \(z\) sous forme exponentielle.
3) Démontre que, pour tout réel \(\theta\), \(1+e^{i\theta}=2\cos\dfrac{\theta}{2}\,e^{i\frac{\theta}{2}}\). Tu pourras mettre \(e^{i\frac{\theta}{2}}\) en facteur, puis utiliser une formule d'Euler. Retrouve ainsi le résultat de la question 2.
4) Calcule \(z^6\). Démontre que \(z^6\) est un réel négatif et que, parmi les puissances \(z^n\) avec \(n\) entier naturel non nul, c'est la première qui soit un nombre réel.
5) On pose \(v=1+e^{i\frac{4\pi}{3}}\). Applique la formule de la question 3 à \(v\). Explique pourquoi l'écriture obtenue n'est pas une forme exponentielle, puis donne la forme exponentielle de \(v\) et contrôle ton résultat avec la forme algébrique de \(v\).
Linéariser pour intégrer : les cubes du cosinus et du sinus
Dans tout l'exercice, \(x\) désigne un nombre réel. On rappelle les formules d'Euler : \(\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\) et \(\sin x=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\), ainsi que l'identité \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\).
1) En développant \(\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^3\), démontre que \(\cos^3x=\dfrac{1}{4}\cos 3x+\dfrac{3}{4}\cos x\).
2) Démontre de la même façon que \(\sin^3x=\dfrac{3}{4}\sin x-\dfrac{1}{4}\sin 3x\).
3) Déduis de la question 1 la valeur exacte de l'intégrale \(I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos^3x\,dx\).
4) Déduis de la question 2 la valeur exacte de l'intégrale \(J=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sin^3x\,dx\).
5) Justifie que \(\cos^3x=\cos x-\cos x\,\sin^2x\), puis retrouve la valeur de \(I\) sans linéarisation, à l'aide d'une primitive de la forme \(\dfrac{u^3}{3}\).
Alignement, angle droit et carré dans le plan complexe
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) d'affixes \(a=-3-i\), \(b=1+i\), \(c=5+3i\) et \(d=-1+5i\).
1) Écris le quotient \(\dfrac{c-a}{b-a}\) sous forme algébrique. Déduis-en que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés, puis démontre que \(B\) est le milieu du segment \([AC]\).
2) Écris le quotient \(\dfrac{d-b}{c-b}\) sous forme algébrique, puis donne son module et un argument. Interprète géométriquement ces deux résultats.
3) Démontre que les points \(A\), \(C\) et \(D\) sont sur un même cercle de centre \(B\), dont tu donneras le rayon.
4) Écris le quotient \(\dfrac{c-d}{a-d}\) sous forme algébrique et déduis-en la nature du triangle \(ADC\).
5) On note \(E\) l'image du point \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{DA}\). Calcule l'affixe \(e\) du point \(E\), démontre que le quadrilatère \(DAEC\) est un carré et calcule son aire.
Le trajet d'un robot traceur : rotation puis translation
Un robot traceur se déplace sur une dalle plane, repérée par un repère orthonormé direct d'origine \(O\) ; l'unité de longueur est le mètre. Sa position est un point \(M_n\) d'affixe \(z_n\). Au départ, il est en \(O\) : \(z_0=0\). À chaque commande, il passe du point \(M_n\) au point \(M_{n+1}\) en ligne droite, avec \(z_{n+1}=e^{i\frac{\pi}{3}}z_n+4\).
1) Explique comment on obtient \(M_{n+1}\) à partir de \(M_n\) en appliquant successivement deux transformations du plan, que tu préciseras. Calcule \(z_1\) et \(z_2\) sous forme algébrique.
2) Résous dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z=e^{i\frac{\pi}{3}}z+4\). On note \(\omega\) sa solution et \(\Omega\) le point d'affixe \(\omega\). Donne \(\omega\) sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
3) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(z_{n+1}-\omega=e^{i\frac{\pi}{3}}(z_n-\omega)\). Déduis-en que \(\Omega M_{n+1}=\Omega M_n\), donne une mesure de l'angle orienté des vecteurs \(\overrightarrow{\Omega M_n}\) et \(\overrightarrow{\Omega M_{n+1}}\), et précise sur quel cercle se trouvent toutes les positions du robot.
4) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(z_n-\omega=e^{i\frac{n\pi}{3}}(z_0-\omega)\). Calcule \(z_3\), puis démontre que le robot revient à son point de départ après six commandes.
5) Démontre que chaque déplacement du robot mesure 4 mètres et que le triangle \(\Omega M_nM_{n+1}\) est équilatéral. Quelle est la longueur du trajet effectué en six commandes ? Quelle est l'aire de la figure tracée ?