Terminale D · Leçon 6

Nombres Complexes — Partie I

Nombres complexes : forme algébrique, opérations, puissances de i

Motivation fondamentale

Dans \(\mathbb{R}\), \(x^2+1=0\) n’a pas de solution. On définit \(i\) tel que \(i^2=-1\) :

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\]

Cycle de période 4

\(i^1\)

\(i\)

→

\(i^2\)

\(-1\)

→

\(i^3\)

\(-i\)

→

\(i^4\)

\(1\)

→…

\[i^{4k}=1 \quad i^{4k+1}=i \quad i^{4k+2}=-1 \quad i^{4k+3}=-i\]

Exemples

a) \(i^{23}=-i\) b) \(i^{100}=1\) c) \(i^{-1}=-i\)

Définition

\[z = a + bi \qquad a,b\in\mathbb{R}\]

\(a=\text{Re}(z)\) : partie réelle \(b=\text{Im}(z)\) : partie imaginaire (réel !)
Si \(b=0\) : réel pur. Si \(a=0,\,b\neq 0\) : imaginaire pur.

Égalité

\[z=z' \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}a=a'\\b=b'\end{cases}\]

Points de vigilance

\(\text{Im}(3+5i)=5\) — pas \(5i\).
\(\sqrt{-4}=2i\). En général : \(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\) pour \(a>0\).
Toujours remplacer \(i^2=-1\) dans tout calcul.

Règles — \(z=a+bi\), \(z'=a'+b'i\)

\[z\pm z' = (a\pm a')+(b\pm b')i \qquad z\times z'=(aa'-bb')+(ab'+ba')i\]

Exemples

Avec \(z_1=3+2i\) et \(z_2=1-4i\) : \(z_1+z_2=4-2i\) ; \(z_1 z_2=11-10i\)

Conjugué d'un nombre complexe

Conjugué

\[\bar{z}=a-bi\]

Symétrique de \(z\) par rapport à l’axe réel.

Propriétés

Propriété	Formule
Double conjugaison	\(\overline{\bar{z}}=z\)
Somme	\(\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}\)
Produit	\(\overline{z\cdot z'}=\bar{z}\cdot\bar{z'}\)
\(z\cdot\bar{z}\)	\(a^2+b^2=\|z\|^2\geq 0\)

Division par le conjugué

\[\frac{z}{z'}=\frac{z\cdot\bar{z'}}{|z'|^2}\]

Exemples

\[\frac{3+2i}{1-i}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i \qquad \frac{2-i}{3+2i}=\frac{4}{13}-\frac{7}{13}i\]

Module d'un nombre complexe

Module

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\cdot\bar{z}}\]

Propriétés

\[|z\cdot z'|=|z|\cdot|z'| \quad\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|} \quad |z^n|=|z|^n \quad z\cdot\bar{z}=|z|^2\]

Plan complexe : affixe, image, distances

Plan complexe

À \(z=a+bi\) on associe \(M(a\,;\,b)\). \(M\) est l’image de \(z\) ; \(z\) est l’affixe de \(M\).

Distances et vecteurs

Objet	Formule
Affixe de \(\overrightarrow{AB}\)	\(z_B-z_A\)
Distance \(AB\)	\(\|z_B-z_A\|\)
Milieu \(I\)	\(\dfrac{z_A+z_B}{2}\)
Centre de gravité \(G\)	\(\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\)

Figure interactive — Plan complexe : affixe, module, conjugué, distance

Point A

Point B

Milieu I

Conjugué À

z_A = 2+3i z_B = 5+i |z_A| = 3.606 |z_B−z_A| = 3.606 Milieu I = 3.5+2i arg(z_A) = 0.983 rad

Argument et forme trigonométrique

Argument

\[\cos\!\bigl(\arg z\bigr)=\frac{a}{|z|} \qquad \sin\!\bigl(\arg z\bigr)=\frac{b}{|z|}\]

Propriétés

\[\arg(z\cdot z')=\arg z+\arg z'\pmod{2\pi} \qquad \arg\!\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg z-\arg z'\pmod{2\pi}\]\[\arg(z^n)=n\cdot\arg z\pmod{2\pi} \qquad \arg(\bar{z})=-\arg z\pmod{2\pi}\]

Exemple — \(z=-1+i\sqrt{3}\)

\(|z|=2\), \(\cos\theta=-\frac{1}{2}\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) → \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)

Erreur fréquente

\(\cos\theta=-\frac{1}{2}\) seul ne suffit pas. Le signe du sin est indispensable.

Définition

\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad r=|z|,\;\theta=\arg(z)\]

Forme 1

Algébrique

\(z=a+bi\)

Opérations +, −, égalité

Forme 2

Trigonométrique

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Lecture géométrique

Forme 3

Exponentielle

\(z=re^{i\theta}\)

Puissances, ×, ÷

Méthode en 3 étapes

Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
Résoudre simultanément \(\cos\theta=a/r\) ET \(\sin\theta=b/r\)
Écrire \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

4 cas — un par quadrant

1. \(z=1+i\) : \(r=\sqrt{2}\), \(\theta=\pi/4\)

2. \(z=-1+i\sqrt{3}\) : \(r=2\), \(\theta=2\pi/3\)

3. \(z=-\sqrt{3}-i\) : \(r=2\), \(\theta=-5\pi/6\)

4. \(z=2-2i\) : \(r=2\sqrt{2}\), \(\theta=-\pi/4\)

Produit et quotient

\[z\cdot z'=rr'[\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')] \qquad \frac{z}{z'}=\frac{r}{r'}[\cos(\theta-\theta')+i\sin(\theta-\theta')]\]

Modules : se multiplient. Arguments : s’additionnent.

Point de vigilance

Si \(\cos\theta=-1/2\) seul, deux valeurs sont possibles. Le signe de \(\sin\theta\) est obligatoire.

Équations du second degré dans ℂ, racines carrées d'un complexe

Discriminant et racines complexes

Cas	Racines
\(\Delta>0\)	Deux réelles \(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\Delta=0\)	Racine double \(-\dfrac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\)	Deux complexes conjuguées \(\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\)

Exemple 1 — \(z^2-2z+5=0\)

\(\Delta=-16\) → \(z_1=1+2i\), \(z_2=1-2i\)

Racines n-ièmes de l’unité

\[z_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} \qquad k=0,\ldots,n-1\]

Propriété : \(1+j+j^2=0\).

Figure interactive — Racines n-ièmes de l’unité

n = 3 racines Angle : 120.00° Polygone : triangle équilatéral Somme des racines = 0

n = 3 Polygone Affixes z_k Rayons

Les 5 erreurs les plus fréquentes

\(\text{Im}(3+5i)=5\) et non \(5i\)
Oublier de remplacer \(i^2=-1\) dans un produit
Déterminer l’argument avec cos seul
Écrire \(\sqrt{-\Delta}\) au lieu de \(i\sqrt{-\Delta}\)
Oublier que les racines n-ièmes sont espacées de \(2\pi/n\)

Fin Chapitre V — Nombres Complexes, Partie I · Terminale D · MathsTD

Résumé

Résumé — Ce que le Bac exige (Partie I)

Forme algébrique

\(z=a+bi\), \(i^2=-1\)

Cycle période 4 : \(i^{4k}=1\)

Conjugué

\(\bar{z}=a-bi\)

\(z\cdot\bar{z}=|z|^2\)

Module

\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(|zz'|=|z||z'|\)

Argument

\(\cos\theta=a/|z|\), \(\sin\theta=b/|z|\)

Défini modulo \(2\pi\)

Plan complexe

Distance : \(|z_B-z_A|\)

Milieu : \(\frac{z_A+z_B}{2}\)

Équations dans ℂ

\(\Delta<0\) : racines conjuguées

Racines n-ièmes : espacées de \(2\pi/n\)

Tombé au Bac

Des exercices de sujets du Bac et de sujets d'entraînement qui portent sur cette leçon, corrigés question par question.

Les 24 sujets qui portent sur cette leçon

Exercices corrigés12 corrigés Quiz de la leçon25 questions

Nombres complexes : forme algébrique, opérations, puissances de i

Conjugué d'un nombre complexe

Module d'un nombre complexe

Plan complexe : affixe, image, distances

Argument et forme trigonométrique

Équations du second degré dans ℂ, racines carrées d'un complexe

Résumé

Tombé au Bac

Connexion requise