Terminale D · Leçon 1

Les Fonctions Numériques

Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel

Définition

Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\) (sauf peut-être en \(a\)). On dit que \(f\) admet pour limite \(\ell\) en \(a\) si \(f(x)\) peut être rendu aussi proche de \(\ell\) qu'on le souhaite pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(a\) :

\[\lim_{x \to a} f(x) = \ell\]

On définit de même les limites à gauche \(\displaystyle\lim_{x \to a^-}\) et à droite \(\displaystyle\lim_{x \to a^+}\), ainsi que les limites en \(\pm\infty\).

Existence de la limite

La limite existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales. Pour toute fonction définie par morceaux, vérifier systématiquement les deux côtés.

Limites usuelles à connaître

Fonction	En \(+\infty\)	En \(-\infty\)
\(x^n\) (\(n>0\))	\(+\infty\)	\(+\infty\) si \(n\) pair, \(-\infty\) si \(n\) impair
\(\dfrac{1}{x^n}\) (\(n>0\))	\(0\)	\(0\)
\(e^x\)	\(+\infty\)	\(0\)
\(\ln x\)	\(+\infty\)	non définie

Limites fondamentales :

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0\]

Théorème — Opérations sur les limites

Si \(\lim_{x\to a}f(x)=\ell\) et \(\lim_{x\to a}g(x)=\ell'\), alors \(\lim(f+g)=\ell+\ell'\), \(\lim(f\cdot g)=\ell\cdot\ell'\), et \(\lim\frac{f}{g}=\frac{\ell}{\ell'}\) si \(\ell'\neq 0\).

Techniques de levée d'indétermination (factorisation, quantité conjuguée)

Formes indéterminées — jamais calculables directement

\(+\infty-\infty\) · \(0\times\infty\) · \(\dfrac{\infty}{\infty}\) · \(\dfrac{0}{0}\) · \(1^\infty\) · \(0^0\) · \(\infty^0\)

Écrire « \(\infty-\infty=0\) » directement est une erreur éliminatoire au Bac.

Méthode — Techniques de levée

Factorisation par le terme de plus haut degré — FI \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(\infty-\infty\) polynomiale
Quantité conjuguée — FI \(\frac{0}{0}\) avec racine carrée
Croissances comparées — FI avec exponentielle ou logarithme
Règle de l'Hôpital — si \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\) : \(\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}\)

Exemple 1 — Factorisation

Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x-1}{x^2-5}\). Forme \(\frac{\infty}{\infty}\), on factorise par \(x^2\) :

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\!\left(2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\!\left(1-\frac{5}{x^2}\right)}=\frac{2+0-0}{1-0}=\boxed{2}\]

Exemple 2 — Quantité conjuguée

Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\). Forme \(\frac{0}{0}\), on multiplie par \(\sqrt{1+x}+1\) :

\[\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\xrightarrow[x\to 0]{}\boxed{\frac{1}{2}}\]

Théorèmes de comparaison et des gendarmes

Théorème des Gendarmes

Si \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).

Exemple — Gendarmes

Montrons que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0\).

On sait \(-1\leq\sin x\leq 1\), donc pour \(x>0\) : \(-\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{\sin x}{x}\leq\dfrac{1}{x}\).

Or \(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\) et \(\lim_{x\to+\infty}\!\left(-\frac{1}{x}\right)=0\). Par les Gendarmes : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=\boxed{0}\).

Figure interactive — Théorème des Gendarmes

Naviguez pour observer la convergence vers 0

g(x) = −1/x

h(x) = 1/x

f(x) = sin(x)/x

La fonction sin(x)/x (vert) est enserrée entre −1/x (brun) et 1/x (navy). Les deux gendarmes tendant vers 0, f tend vers 0 en +∞.

Continuité en un point et sur un intervalle, types de discontinuité

Définition — Continuité en un point

Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Cela exige : (1) \(f\) définie en \(a\), (2) la limite existe, (3) limite = valeur.

Les fonctions usuelles (polynômes, \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin\), \(\cos\), racines) sont continues sur leur domaine de définition.

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\). Pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(c\in[a\,;\,b]\) tel que \(f(c)=k\).

Corollaire : Si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]a\,;\,b[\).

Théorème de la Bijection

Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;\,b]\), alors pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution dans \([a\,;\,b]\).

Rédaction TVI au Bac — trois étapes obligatoires

Sans ces trois lignes, les points sont perdus même avec la bonne conclusion : (1) énoncer que \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\), (2) calculer explicitement \(f(a)\) et \(f(b)\), (3) constater les signes contraires et conclure.

Exemple — TVI

Montrons que \(x^3-2x+1=0\) admet au moins une solution dans \([-2\,;\,0]\).

Posons \(f(x)=x^3-2x+1\). Polynôme → continu sur \(\mathbb{R}\).

\(f(-2)=-8+4+1=-3<0\) et \(f(0)=1>0\) — signes contraires.

Par le TVI : il existe \(c\in\,]-2\,;\,0[\) tel que \(f(c)=0\).

Figure interactive — TVI avec curseur k

Valeur de k : k = −1,00 · f(−2)=−3 · f(0)=1

Déplacez k entre −3 et 1 : la droite horizontale coupe la courbe, garantissant l'existence d'un c tel que f(c)=k (TVI). Hors de cet intervalle, le TVI ne s'applique pas sur [−2;0].

Nombre dérivé, tangente et approximation affine

Définition — Nombre dérivé

\(f\) est dérivable en \(a\) si la limite suivante existe et est finie :

\[f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

Interprétation géométrique : \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en \(x=a\).

Équation de la tangente en \(a\) : \(\quad y=f'(a)(x-a)+f(a)\)

Figure interactive — Tangente en mouvement

f(x) = x³ − 3x + 1

Tangente en A

f ′(x) = 3x² − 3

Point a : a = −1,00 | f(a) = 3,00 | f′(a) = 0,00

En x=±1, la tangente est horizontale (f′=0) : ce sont les extremums locaux. Entre −1 et 1, f′<0 : f est décroissante.

Dérivées usuelles et règles de calcul

Dérivées de référence

f(x)	f ′(x)	Domaine
\(k\) (constante)	\(0\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)	\(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^*\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)	\(]0;+\infty[\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)	\(\mathbb{R}^*\)
\(e^x\)	\(e^x\)	\(\mathbb{R}\)
\(\ln x\)	\(\dfrac{1}{x}\)	\(]0;+\infty[\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(\mathbb{R}\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)	\(\mathbb{R}\)

Règles d'opérations et fonctions composées

Fonction	Dérivée
\(u+v\)	\(u'+v'\)
\(u\times v\)	\(u'v+uv'\)
\(\dfrac{u}{v}\)	\(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
\(u^n\)	\(n\,u'\,u^{n-1}\)
\(\sqrt{u}\)	\(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)
\(e^u\)	\(u'\cdot e^u\)
\(\ln u\)	\(\dfrac{u'}{u}\)

Erreur classique — oubli du u′

Pour \(\ln(u(x))\) : beaucoup écrivent \(\frac{1}{u(x)}\) en oubliant \(u'(x)\) au numérateur. La dérivée correcte est toujours \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Même raisonnement pour \((e^u)'=u'\cdot e^u\).

Signe de la dérivée, variations et extremums

Théorème fondamental — variations

Si \(f'(x)>0\) sur \(I\) → \(f\) strictement croissante sur \(I\)
Si \(f'(x)<0\) sur \(I\) → \(f\) strictement décroissante sur \(I\)
Si \(f'(x)=0\) sur \(I\) → \(f\) constante sur \(I\)

La réciproque est fausse

\(f'(a)=0\) ne garantit pas un extremum. Pour \(f(x)=x^3\) : \(f'(0)=0\) mais \(f\) est strictement croissante — pas d'extremum en 0. Il faut obligatoirement vérifier le changement de signe de \(f'\) autour de \(a\) : \(+\to-\) (max), \(-\to+\) (min), pas de changement (point d'inflexion).

Concavité et dérivée seconde

\(f''=(f')'\). Si \(f''>0\) → convexe (U). Si \(f''<0\) → concave (∩). Si \(f''\) change de signe en \(a\) → point d'inflexion.

Asymptotes horizontales, verticales, obliques et branches infinies

Asymptote verticale

\(x=a\) est une AV si \(\displaystyle\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty\). On la cherche là où \(f\) n'est pas définie.

Asymptote horizontale

\(y=\ell\) est une AH en \(\pm\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\).

Asymptote oblique

\(y=ax+b\) (\(a\neq 0\)) est une AO en \(+\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\).

Méthode — Trouver une AO

Calculer \(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\)
Si \(a\) fini et \(\neq 0\), calculer \(b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax]\)
Si \(b\) fini → \(y=ax+b\) est l'AO

Raccourci pour les fractions rationnelles : effectuez directement la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.

Exemple — AO par division euclidienne

Pour \(f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}\) :

\[x^2+2x+3=(x+1)(x+1)+2 \implies f(x)=x+1+\frac{2}{x+1}\]

\(\dfrac{2}{x+1}\to 0\) en \(\pm\infty\) → \(y=x+1\) est l'asymptote oblique.

Plan d'étude complet d'une fonction et représentation graphique

Plan d'étude complet — dans cet ordre

Ensemble de définition \(D_f\)
Parité / Périodicité
Limites aux bornes de \(D_f\)
Asymptotes — AV, AH, AO
Dérivée \(f'(x)\) et son domaine
Tableau de signes de \(f'\) → tableau de variations
Points remarquables — axes, extremums, inflexion
Tangentes particulières
Tracé cohérent avec toutes les informations

Résumé

Résumé — Fonctions Numériques

Limites

Identifier la FI, choisir la technique (factorisation, conjuguée, croissances comparées) et lever systématiquement avant de conclure.

TVI

Trois étapes obligatoires : continuité sur [a;b], calcul de f(a) et f(b), signes contraires. Sans elles, les points sont perdus.

Dérivation

Maîtriser le quotient \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\) et la composée \(u'\cdot f'(u)\). Ne jamais oublier u′ pour ln u et e^u.

Extremums

f′(a)=0 est nécessaire mais non suffisant. Le changement de signe de f′ autour de a est la seule preuve valide.

Asymptotes

AV → limite infinie. AH → limite finie. AO → division euclidienne. Toujours préciser la position de la courbe par rapport à l'AO.

Ordre d'étude

D_f → parité → limites → asymptotes → f′ → variations → points remarquables → tracé.

Sujet type Bac

Exercice type Bac — Étude complète de fonction

Énoncé : Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+x+2}{x-1}\). On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe dans un repère orthonormé.

1. Ensemble de définition

\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}=]-\infty\,;\,1[\;\cup\;]1\,;\,+\infty[\)

2. Limites et Asymptotes

En \(x=1\) : numérateur vaut \(4>0\). Donc \(\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty\) → AV : \(x=1\).

En \(\pm\infty\) : \(\lim f(x)=\pm\infty\) → pas d'AH. Division euclidienne :

\[x^2+x+2=(x-1)(x+2)+4 \implies f(x)=x+2+\frac{4}{x-1}\]

\(\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(x+2)]=0\) → AO : \(\Delta:y=x+2\).

Position : \(f(x)-(x+2)=\dfrac{4}{x-1}>0\) pour \(x>1\) (courbe au-dessus de \(\Delta\)), \(<0\) pour \(x<1\) (en dessous).

3. Dérivée et Variations

Règle du quotient (\(u=x^2+x+2\), \(u'=2x+1\), \(v=x-1\), \(v'=1\)) :

\[f'(x)=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x+2)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\]

\((x-1)^2>0\) pour tout \(x\neq 1\) → signe de \(f'\) = signe de \((x-3)(x+1)\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(1\)		\(3\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		+	0	−	\|\|	−	0	+
\(f(x)\)	\(-\infty\)	↗	−1	↘	\(-\infty\)‖\(+\infty\)	↘	7	↗	\(+\infty\)

4. Points remarquables

Maximum local en \(x=-1\) : \(f(-1)=\dfrac{1-1+2}{-2}=-1\) → tangente horizontale \(y=-1\)
Minimum local en \(x=3\) : \(f(3)=\dfrac{9+3+2}{2}=7\) → tangente horizontale \(y=7\)
Intersection Oy : \(f(0)=-2\) · Pas d'intersection Ox (\(\Delta=-7<0\))

Tombé au Bac

Des exercices de sujets du Bac et de sujets d'entraînement qui portent sur cette leçon, corrigés question par question.

Les 37 sujets qui portent sur cette leçon

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