Terminale D · Leçon 9

Courbes Paramétrées

Courbes paramétrées : étude, tangentes, tracé

Courbe paramétrée

Ensemble des points \(M(t)\) du plan dont les coordonnées sont des fonctions d’un paramètre réel \(t\) :

\[\Gamma = \bigl\{M(t) = \bigl(f(t),\,g(t)\bigr) \mid t\in I\bigr\}\]

\(f\) et \(g\) : fonctions dérivables sur \(I\)
\(x(t)=f(t)\) : abscisse du point à l’instant \(t\)
\(y(t)=g(t)\) : ordonnée du point à l’instant \(t\)

Différence fondamentale

Représentation	Exemple	Informations supplém.
Cartésienne \(y=f(x)\)	\(y=x^2\)	Aucune (pas de sens)
Paramétrique \((x(t),y(t))\)	\((\cos t,\sin t)\)	Sens de parcours donné

Vocabulaire clé

Terme	Définition
Support	La courbe tracée (image géométrique)
Sens de parcours	Direction dans laquelle \(M(t)\) se déplace quand \(t\) croît
Point multiple	Point atteint pour plusieurs valeurs de \(t\)
Point de rebroussement	Point où \(x'(t_0)=y'(t_0)=0\) et changement de direction

Principe

Si \(x(t+T)=x(t)\) et \(y(t+T)=y(t)\) pour tout \(t\), alors la courbe est identique pour tout période. Il suffit d’étudier sur une période.

\[\text{Cercle : }T=2\pi \;\longrightarrow\; \text{étudier sur }[0,2\pi]\]

Tableau des symétries

Condition	Symétrie	Réduction
\(x(-t)=x(t)\), \(y(-t)=-y(t)\)	Axe \(Ox\) (abscisses)	\([0,T/2]\) puis symétrie
\(x(-t)=-x(t)\), \(y(-t)=y(t)\)	Axe \(Oy\) (ordonnées)	\([0,T/2]\) puis symétrie
\(x(-t)=-x(t)\), \(y(-t)=-y(t)\)	Centre \(O\)	\([0,T/2]\) puis symétrie
\(x(T/2-t)=x(t)\), \(y(T/2-t)=-y(t)\)	Axe horizontal	Réduction supplém.

Ordre de priorité

Périodicité de \(x\) et \(y\) → réduire à une période
Parité / symétrie → réduire à demi-période
Symétrie supplémentaire → réduire encore

Exemple — Astroïde \((\cos^3 t, \sin^3 t)\)

Période \(2\pi\) → étudier sur \([0,2\pi]\)
\(x(-t)=\cos^3(-t)=\cos^3 t=x(t)\) et \(y(-t)=-\sin^3 t=-y(t)\) → axe \(Ox\) → étudier sur \([0,\pi]\)
Symétrie supplémentaire \(t\leftrightarrow\pi-t\) → axe \(Oy\) → étudier sur \([0,\pi/2]\)

Vecteur dérivé

\[\vec{V}(t_0) = \begin{pmatrix}x'(t_0)\\y'(t_0)\end{pmatrix}\]

Donne la direction et le sens de la tangente en \(M(t_0)\).

Types de points selon \(\vec{V}(t_0)\)

Condition	Type de point	Tangente
\(x'(t_0)\neq 0\), \(y'(t_0)=0\)	Tangente horizontale	\(y=y(t_0)\)
\(x'(t_0)=0\), \(y'(t_0)\neq 0\)	Tangente verticale	\(x=x(t_0)\)
\(x'(t_0)\neq 0\), \(y'(t_0)\neq 0\)	Tangente oblique	Pente \(y'/x'\)
\(x'(t_0)=0\), \(y'(t_0)=0\)	Point stationnaire	Limite si elle existe

Équation de la tangente en \(M(t_0)=(x_0,y_0)\)

\[y'(t_0)\cdot(x-x_0) - x'(t_0)\cdot(y-y_0) = 0\]

Ou si \(x'(t_0)\neq 0\) : pente \(m=y'(t_0)/x'(t_0)\) et \(y-y_0=m(x-x_0)\).

Point stationnaire — attention

Si \(x'(t_0)=y'(t_0)=0\), on cherche la direction limite de \(\vec{V}\) quand \(t\to t_0\), souvent via l’équivalent ou la limite du rapport \(y'(t)/x'(t)\).

Exemple — Cercle \((\cos t,\sin t)\)

\(x'(t)=-\sin t\), \(y'(t)=\cos t\). En \(t_0=\pi/4\) : \(M_0=(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})\), \(\vec{V}=(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})\).

Pente : \(m=\cos(\pi/4)/(-\sin(\pi/4))=-1\). Tangente : \(y=\frac{\sqrt2}{2}-(x-\frac{\sqrt2}{2})=-x+\sqrt2\).

Détermination du sens

Quand \(t\) croît, \(M(t)\) se déplace. Le sens de parcours est donné par le vecteur \(\vec{V}(t)\) :

Signe des composantes → direction

\(x'(t)\)	\(y'(t)\)	Direction de déplacement
\(>0\)	\(>0\)	Vers le haut-droite ↗
\(>0\)	\(<0\)	Vers le bas-droite ↘
\(<0\)	\(>0\)	Vers le haut-gauche ↖
\(<0\)	\(<0\)	Vers le bas-gauche ↙

Tableau de variations paramétrique

Dresser le tableau de signe de \(x'(t)\) et \(y'(t)\) sur l’intervalle d’étude pour identifier les variations de \(x\) et \(y\) séparément.

Figure 1 — Cercle \((\cos t,\sin t)\) et Ellipse \((a\cos t,b\sin t)\)

Courbe paramétrée

Point M(t) courant

Vecteur tangent

Points critiques

t = 0.000 M(t) = (1.000 ; 0.000) x′(t) = 0.000 y′(t) = 1.000 Tangente : verticale x = 1

t = 0.000 Mode : Vecteur tangent Droite tangente Points critiques

Analyse préalable

Période : \(x\) de période \(\pi\), \(y\) de période \(2\pi\) → période commune \(2\pi\)
\(x(-t)=-\sin 2t=-x(t)\) (impaire), \(y(-t)=\cos(-t)=y(t)\) (paire) → symétrie axe \(Oy\)
Étudier sur \([0,\pi]\) puis compléter

Figure 2 — Lissajous \(x=\sin 2t\), \(y=\cos t\), \(t\in[0,\pi]\)

Branche \([0,\pi]\)

Courbe complète \([0,2\pi]\)

Vecteur tangent

Points critiques

t = 0.000 M(t) = (0.000 ; 1.000) x′(t) = 2.000 y′(t) = 0.000 Tangente : horizontale y = 1

t = 0.000 Vecteur tangent Droite tangente Points critiques

Analyse préalable

Période \(2\pi\), symétries axes \(Ox\) et \(Oy\) → étudier sur \([0,\pi/2]\)
\(x'=-3\cos^2 t\sin t\), \(y'=3\sin^2 t\cos t\)
Points stationnaires : \(t=0\) et \(t=\pi/2\) (rebroussement)

Figure 3 — Astroïde \(x=\cos^3 t\), \(y=\sin^3 t\)

Astroïde complète

Branche \([0,\pi/2]\)

Point M(t)

Vecteur tangent

t = 0.000 M(t) = (1.000 ; 0.000) x′(t) = 0.000 y′(t) = 0.000 Type : point stationnaire (rebroussement)

t = 0.000 Vecteur tangent Courbe complète

Résumé

Résumé — Ce que le Bac exige

Définition

\(\Gamma=\{M(t)=(f(t),g(t))\mid t\in I\}\)

Sens de parcours = information supplémentaire

Réduction — Périodicité

\(x(t+T)=x(t)\) et \(y(t+T)=y(t)\)

Étudier sur une période

Réduction — Symétries

\(x\) paire, \(y\) impaire → axe \(Ox\)

\(x\) impaire, \(y\) paire → axe \(Oy\)

\(x\) et \(y\) impaires → centre \(O\)

Vecteur tangent

\(\vec{V}(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0))\)

Tang. H : \(y'=0\), \(x'\neq 0\)

Tang. V : \(x'=0\), \(y'\neq 0\)

Point stationnaire

\(x'(t_0)=y'(t_0)=0\)

Chercher la direction limite

Courbes usuelles

Cercle : \((\cos t,\sin t)\)

Ellipse : \((a\cos t,b\sin t)\)

Astroïde : \((\cos^3 t,\sin^3 t)\)

Lissajous : \((\sin 2t,\cos t)\)

Sujet type Bac

Exercice type Bac — Courbe de Lissajous \((\sin 2t,\cos t)\)

Partie A — Réduction de l’intervalle

\(x(t)=\sin 2t\) de période \(\pi\), \(y(t)=\cos t\) de période \(2\pi\) → période commune \(2\pi\).

\(x(-t)=-\sin 2t=-x(t)\) (impaire) ; \(y(-t)=\cos t=y(t)\) (paire) → symétrie / axe \(Oy\) → étude sur \([0,\pi]\).

Partie B — Dérivées et points critiques

\[x'(t)=2\cos 2t \quad;\quad y'(t)=-\sin t\]

\(t\)	\(0\)	\(\pi/4\)	\(\pi/2\)	\(3\pi/4\)	\(\pi\)
\(x'=2\cos 2t\)	\(+2\)	\(0\)	\(-2\)	\(0\)	\(+2\)
\(y'=-\sin t\)	\(0\)	\(-\frac{\sqrt2}{2}\)	\(-1\)	\(-\frac{\sqrt2}{2}\)	\(0\)
Type	Tang. H	Tang. V	Oblique	Tang. V	Tang. H
\(M(t)\)	\((0,1)\)	\((1,\frac{\sqrt2}{2})\)	\((0,0)\)	\((-1,\frac{\sqrt2}{2})\)	\((0,-1)\)

Partie C — Sens de parcours sur \([0,\pi]\)

En \(t=\pi/3\) : \(x'=2\cos(2\pi/3)=-1<0\), \(y'=-\sin(\pi/3)=-\frac{\sqrt3}{2}<0\) → direction ↙ (bas-gauche).

Partie D — Compléter par symétrie

Symétrie par rapport à l’axe \(Oy\) : la branche \([-\pi,0]\) est le symétrique de \([0,\pi]\).

Tombé au Bac

Des exercices de sujets du Bac et de sujets d'entraînement qui portent sur cette leçon, corrigés question par question.

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