Terminale D · Leçon 5

Calcul Intégral

Primitives : définition, primitives usuelles

Définition — Primitive

\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in I\).

Toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x)+C\) où \(C\in\mathbb{R}\).

Tableau des primitives fondamentales — à connaître par cœur

Fonction \(f(x)\)	Primitive \(F(x)\)	Condition
\(k\) (constante)	\(kx\)
\(x^n\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(n\neq-1\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(\ln\|x\|\)	\(x\neq 0\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(e^{ax+b}\)	\(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\)	\(a\neq 0\)
\(\cos(x)\)	\(\sin(x)\)
\(\sin(x)\)	\(-\cos(x)\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)	\(2\sqrt{x}\)	\(x>0\)

Ne pas oublier \(\frac{1}{a}\) pour \(e^{ax+b}\)

\(\displaystyle\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\) — vérification : \(\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)'=e^{2x}\)

Primitives de fonctions composées — reconnaître \(u'\cdot g(u)\)

Forme	Primitive	Condition
\(u'\cdot u^n\)	\(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\)	\(n\neq-1\)
\(\dfrac{u'}{u}\)	\(\ln\|u\|\)	\(u\neq 0\)
\(u'\cdot e^u\)	\(e^u\)
\(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\)	\(2\sqrt{u}\)	\(u>0\)

Exemples

\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C\qquad\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\qquad\int\frac{3}{3x-1}\,dx=\ln|3x-1|+C\]

Vérification systématique

Après avoir trouvé \(F(x)\), dérivez toujours pour vérifier \(F'(x)=f(x)\). 10 secondes de vérification = 2 points assurés.

Intégrale : définition, linéarité, relation de Chasles

Définition — Intégrale définie

Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) :

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a)\]

La constante \(C\) s'annule toujours dans une intégrale définie.

Exemples fondamentaux

\[\int_{1}^{3}2x\,dx=\bigl[x^2\bigr]_1^3=9-1=\boxed{8}\]

\[\int_{0}^{1}e^x\,dx=\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-1\approx\boxed{1{,}718}\]

Linéarité

\[\int_{a}^{b}\bigl[kf(x)+\lambda g(x)\bigr]\,dx=k\int_{a}^{b}f\,dx+\lambda\int_{a}^{b}g\,dx\]

Relation de Chasles et inversion des bornes

\[\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{c}f+\int_{c}^{b}f\qquad\int_{a}^{b}f=-\int_{b}^{a}f\qquad\int_{a}^{a}f=0\]

Ne jamais écrire +C dans une intégrale définie

La constante de primitive s'annule systématiquement lors de l'évaluation \(F(b)-F(a)\).

Figure interactive — Intégrale comme aire algébrique

Courbe f(x)

Aire positive

Aire négative

f(x) = a = 0,0 b = 2,0 Résultat : ?

Déplacez a et b pour choisir l'intervalle d'intégration. La zone verte correspond aux parties positives (intégrale positive) et la zone brune aux parties négatives.

Intégrale et aire, aire entre deux courbes

Interprétation géométrique

Si \(f\) est continue et positive sur \([a\,;\,b]\) :

\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\quad\text{(en unités d'aire, u.a.)}\]

Les 3 cas à maîtriser

Cas	Condition	Formule de l'aire
Cas 1	\(f\geq 0\) sur \([a;b]\)	\(\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b f\,dx\)
Cas 2	\(f\leq 0\) sur \([a;b]\)	\(\mathcal{A}=\left\|\displaystyle\int_a^b f\,dx\right\|\)
Cas 3	\(f\) change de signe en \(c\)	\(\mathcal{A}=\left\|\displaystyle\int_a^c f\right\|+\left\|\displaystyle\int_c^b f\right\|\)

Intégrale vs Aire — ne pas confondre

L'intégrale peut être négative. L'aire géométrique est toujours positive. Oublier la valeur absolue quand \(f<0\) est l'erreur numéro 1 dans les calculs d'aire au Bac.

Exemple — Changement de signe : \(f(x)=x\) sur \([-1\,;\,2]\)

\[\mathcal{A}_1=\left|\int_{-1}^{0}x\,dx\right|=\frac{1}{2}\qquad\mathcal{A}_2=\int_{0}^{2}x\,dx=2\qquad\mathcal{A}=\frac{1}{2}+2=\boxed{\frac{5}{2}\text{ u.a.}}\]

Aire entre deux courbes

Si \(f(x)\geq g(x)\) sur \([a\,;\,b]\) :

\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,dx\]

Exemple — Aire entre \(f(x)=x\) et \(g(x)=x^2\) sur \([0\,;\,1]\)

\[\mathcal{A}=\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\boxed{\frac{1}{6}\text{ u.a.}}\]

Figure interactive — Aire entre deux courbes

f(x)

g(x)

f > g

f < g

Courbes : Aire ≈ ? u.a. ∫(f−g) ≈ ? Zones colorées

L'aire géométrique (toujours positive) peut différer de l'intégrale algébrique ∫(f−g) quand les courbes se croisent. Observez la différence avec sin/cos.

Intégration par parties

Formule de l'IPP

\[\int_{a}^{b}u(x)\,v'(x)\,dx=\bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b-\int_{a}^{b}u'(x)\,v(x)\,dx\]

Méthode ALPES — Ordre de priorité pour choisir \(u(x)\)

A
Arctan

L
Log ln(x)

P
Polynôme

E
Expo eˣ

S
Sin / Cos

Prendre \(u\) parmi les premiers de la liste, \(v'\) parmi les derniers.

Exemple 1 — \(\displaystyle\int_{0}^{1}xe^x\,dx\)

\(u=x\) (P), \(v'=e^x\) (E) → \(u'=1\), \(v=e^x\)

\[\int_0^1 xe^x\,dx=\bigl[xe^x\bigr]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-(e-1)=\boxed{1}\]

Exemple 2 — \(\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx\)

\(u=\ln x\) (L), \(v'=1\) → \(u'=\frac{1}{x}\), \(v=x\)

\[\int_1^e\ln x\,dx=\bigl[x\ln x\bigr]_1^e-\int_1^e 1\,dx=e-(e-1)=\boxed{1}\]

Les 3 erreurs classiques de l'IPP

Mal choisir \(u\) et \(v'\) — utiliser systématiquement ALPES
Oublier les bornes dans \([uv]_a^b\)
Oublier le signe − devant \(\int u'v\)

Figure interactive — Vérification graphique des intégrales IPP

Fonction : Exact : 1 Numérique ≈ 1,000

L'aire verte est calculée numériquement et doit coïncider avec le résultat exact de l'IPP. C'est un moyen de vérifier son calcul sur copie.

Valeur moyenne, intégrale et inégalités

Valeur moyenne

\[\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\]

\(\mu\) est la hauteur du rectangle de base \([a\,;\,b]\) ayant la même aire que la région sous la courbe.

Exemple — Valeur moyenne de \(f(x)=x^2\) sur \([0\,;\,2]\)

\[\mu=\frac{1}{2}\int_0^2 x^2\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}=\boxed{\frac{4}{3}}\]

Positivité et encadrement

\[f\geq 0\;\Rightarrow\;\int_a^b f\,dx\geq 0\qquad f\leq g\;\Rightarrow\;\int_a^b f\leq\int_a^b g\]

Si \(m\leq f(x)\leq M\) pour tout \(x\in[a\,;\,b]\) :

\[m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)\]

Encadrement de \(\displaystyle\int_{0}^{1}e^x\,dx\)

Sur \([0\,;\,1]\) : \(1\leq e^x\leq e\) → \(1\leq\int_0^1 e^x\,dx\leq e\). Vérification : \(e-1\approx 1{,}718\in[1\,;\,e]\).

Résumé

Résumé — Calcul Intégral

Formule fondamentale

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) · La constante s'annule toujours

Propriétés

Linéarité · Chasles : \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\) · Inversion : \(\int_a^b=-\int_b^a\)

Aires

Si \(f\geq 0\) : \(\mathcal{A}=\int_a^b f\) · Si \(f\leq 0\) : \(\mathcal{A}=|\int_a^b f|\) · Entre 2 courbes : \(\int_a^b|f-g|\)

IPP & ALPES

\(\int uv'=[uv]-\int u'v\) · Choisir \(u\) : A→L→P→E→S

Valeur moyenne

\(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\,dx\) = hauteur du rectangle équivalent

Inégalités

Si \(m\leq f\leq M\) sur \([a;b]\) : \(m(b-a)\leq\int_a^b f\leq M(b-a)\)

Sujet type Bac

Exercice type Bac — Étude et intégration

Soit \(f(x)=x\ln(x)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

A. Étude de la fonction

\(f'(x)=\ln(x)+1\), annulée en \(x=\dfrac{1}{e}\). Minimum de \(-\dfrac{1}{e}\approx-0{,}368\).

\(x\)	\(0^+\)		\(\frac{1}{e}\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		−	0	+
\(f(x)\)	0	↘	\(-\frac{1}{e}\)	↗	\(+\infty\)

B. Calcul par IPP — \(\displaystyle\int_{1}^{e}x\ln(x)\,dx\)

\(u=\ln x\) (L), \(v'=x\) → \(u'=\dfrac{1}{x}\), \(v=\dfrac{x^2}{2}\)

\[\int_1^e x\ln x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\,dx=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\boxed{\frac{e^2+1}{4}}\]

C. Calcul d'aire

Sur \([1\,;\,e]\) : \(f(x)\geq 0\), donc \(\mathcal{A}=\dfrac{e^2+1}{4}\approx 2{,}097\) u.a.

Si 1 u. = 2 cm sur chaque axe : aire réelle \(=\dfrac{e^2+1}{4}\times 4=e^2+1\approx 8{,}389\) cm².

Tombé au Bac

Des exercices de sujets du Bac et de sujets d'entraînement qui portent sur cette leçon, corrigés question par question.

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