Exercice 1 — Nombres complexes 4 pts
$P(z)=z^3-3z^2+(3i+3)z-6+2i$
1) Calcul de $P(-i)$ et factorisation
1
Calcul terme par terme :
$(-i)^3 = i$ | $-3(-i)^2 = -3(i^2)^{-1}\cdot(-1) = 3\cdot(-1)\cdot(-1)=3$ | $(3i+3)(-i)=3-3i$ | $-6+2i$
$$P(-i)=(i+3+3-3i-6+2i)+(0)i = 0 \checkmark$$
Regroupement : partie réelle $= 3+3-6=0$ ; partie imaginaire $= 1-3+2=0$. Donc $P(-i)=0$.
2
Division euclidienne de $P(z)$ par $(z+i)$ :
• Quotient $z^2$ → reste $(-3-i)z^2+(3i+3)z-6+2i$
• Quotient $(-3-i)z$ → reste $(2+6i)z-6+2i$
• Quotient $(2+6i)$ → reste $0$ ✓
$P(z)=(z+i)\bigl[z^2-(3+i)z+(2+6i)\bigr]$
2 a) Résolution complète de $P(z)=0$
2 b–c) Triangle $ABC$ et carré $ABDC$
3) Point $D$ et nature de $ABDC$
Exercice 2 — Probabilités 4 pts
Urne : 5 boules n°2, 4 boules n°3, 3 boules n°4. Tirage simultané de 3 boules.
Données : $\dfrac{23}{110}\approx0{,}2$ ; $\dfrac{87}{110}\approx0{,}7$.
1) Probabilités de $A$, $B$, $C$, $D$
2) Variable $X$ = somme des numéros — loi et espérance
3) Succès $E : X\geq10$ — répétitions indépendantes
Problème — Partie A 12 pts
$f(x)=\begin{cases}2-x+\ln(2x-3) & \text{si } x\geq2\\-x+1+e^{x-2} & \text{si } x<2\end{cases}$
Données : $\ln2\approx0{,}7$ ; $\ln3\approx1{,}1$ ; $\ln5\approx1{,}6$ ; $\ln10\approx2{,}3$ ; $\ln\tfrac{2}{3}\approx-0{,}4$.
1) Continuité de $f$ en $2$
2) Dérivabilité de $f$ en $2$ — demi-tangentes
3) Limites et asymptotes
5) Dérivée, signe et tableau de variations
Problème — Partie B : zéros de $f$
1) Deux solutions : $x=2$ et $\alpha\in\,]3\,;\,4[$
2) Fonction $g(x)=2+\ln(2x-3)$ et contraction
Problème — Partie C : Suite $(u_n)$
$u_0=3$, $u_{n+1}=g(u_n)=2+\ln(2u_n-3)$
1) $u_n\in[3\,;\,4]$ pour tout $n$ par récurrence
2–3) Encadrement et convergence vers $\alpha$
4) Plus petit $n_0$ tel que $|u_n-\alpha|\leq10^{-3}$
