Nombres Complexes — Partie I

Exercice 1 — Forme algébrique et opérations de base

On donne $z_1 = 3 + 2i$ et $z_2 = 1 - 4i$.

1. Donner la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$ et $z_2$.

2. Calculer $z_1 + z_2$ et $z_1 - z_2$. Mettre sous forme algébrique $a + ib$.

3. Calculer $z_1 \times z_2$. Développer et simplifier en utilisant $i^2 = -1$.

Exercice 2 — Conjugué, module et géométrie

On donne $z = 3 - 4i$.

1. Calculer le conjugué $\bar{z}$.

2. Calculer le module $|z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}$.

3. Vérifier que $z \times \bar{z} = |z|^2$.

4. Interpréter géométriquement $\bar{z}$ par rapport à $z$ dans le plan.

Exercice 3 — Division de nombres complexes

On rappelle la méthode : pour écrire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme $a+ib$, on multiplie numérateur et dénominateur par $\overline{z_2}$.

On donne $z_1 = 5 + i$ et $z_2 = 2 + 3i$.

1. Calculer $\overline{z_2}$ et $|z_2|^2$.

2. Calculer $z_1 \times \overline{z_2}$.

3. En déduire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique $a + ib$.

4. Vérifier en calculant $\dfrac{z_1}{z_2} \times z_2$ et en retrouvant $z_1$.

Exercice 4 — Équations du 2ⁿᵈ degré dans $\mathbb{C}$

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :

1. $z^2 + 4 = 0$

2. $z^2 - 2z + 5 = 0$

3. $2z^2 + z + 1 = 0$

Pour chacune, calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Lorsque $\Delta < 0$, écrire $\Delta = -|\Delta|$ et utiliser $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}$.

Exercice 4 — Racines $n$-ièmes de l'unité

Les $n$ racines de $z^n=1$ sont $\omega_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}$, $k=0,\ldots,n-1$.

1. 4 racines de $z^4=1$  2. Racines cubiques — somme nulle  3. Géométrie  4. $z^6=-64$

Exercice 5 — Forme trigonométrique — niveau Bac

On rappelle : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.

On donne $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} - i$.

1. Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$. En déduire $|z_1 z_2|$ et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|$.

2. Déterminer $\arg(z_1)$ et $\arg(z_2)$ en utilisant les valeurs du cercle trigonométrique.

3. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.

4. En déduire $\arg(z_1 z_2)$ et $\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)$. Vérifier en calculant $z_1 z_2$ algébriquement.

5. Placer $z_1$, $z_2$, $z_1 z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$ dans le plan de Gauss.

Exercice 6 — Équations et lieu géométrique — niveau Bac

Soit $z = x + iy$ un nombre complexe ($x, y \in \mathbb{R}$).

Partie A — Équation dans $\mathbb{C}$

1. Résoudre $z^2 = -3 + 4i$ dans $\mathbb{C}$. (Poser $z = a+ib$ et identifier les parties réelle et imaginaire.)

2. En déduire les solutions de $Z^2 + 2Z + (1+i) = 0$ dans $\mathbb{C}$, où $Z \in \mathbb{C}$.

Partie B — Lieu géométrique

3. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1| = |z + i|$.

4. Quelle est la nature de cet ensemble ? Le tracer dans le plan.

5. Déterminer l'ensemble des points tels que $|z - 2| \leq 3$. Nature géométrique ?

On considère les nombres complexes \(z_1=-1+i\sqrt{3}\) et \(z_2=1+i\), et on pose \(Q=\dfrac{z_1}{z_2}\).

1) Calcule le module et un argument de \(z_1\), puis de \(z_2\). Écris chacun de ces deux nombres sous forme trigonométrique.

2) Écris \(Q\) sous forme algébrique.

3) Déduis de la question 1 le module et un argument de \(Q\), puis la forme trigonométrique de \(Q\).

4) En comparant les deux écritures de \(Q\), démontre que \(\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\). Vérifie que la somme des carrés de ces deux nombres vaut bien 1.

5) À l'aide de la formule de Moivre, calcule \(z_1^3\) et \(z_2^4\).

6) Démontre de deux façons que \(Q^{12}\) est un réel négatif, dont tu donneras la valeur : avec la question 5, puis avec la forme trigonométrique de \(Q\).

Pour tout nombre complexe \(z\), on pose \(P(z)=z^3-6z^2+12z-16\). Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine \(O\).

1) Calcule \(P(4)\), puis détermine les réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout complexe \(z\), \(P(z)=(z-4)(z^2+az+b)\).

2) Résous dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(P(z)=0\).

3) On note \(A\), \(B\) et \(C\) les points d'affixes \(z_A=4\), \(z_B=1+i\sqrt{3}\) et \(z_C=1-i\sqrt{3}\). Écris \(z_B\) et \(z_C\) sous forme trigonométrique. Que peux-tu dire des points \(B\) et \(C\) ?

4) Calcule les distances \(AB\), \(AC\) et \(BC\). Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ?

5) Écris sous forme algébrique le quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\), puis donne son module et un argument. Explique comment ce seul résultat permet de retrouver la nature du triangle \(ABC\).

6) Soit \(G\) le point d'affixe 2. Démontre que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont sur un même cercle de centre \(G\), dont tu préciseras le rayon, et vérifie que \(z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\).

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine \(O\). On veut résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((E)\) : \(z^2-(1+3i)z-4+3i=0\).

1) On cherche les nombres complexes \(\delta=x+iy\), avec \(x\) et \(y\) réels, tels que \(\delta^2=8-6i\). Démontre que \(x^2-y^2=8\), \(xy=-3\) et \(x^2+y^2=10\), puis détermine les deux nombres \(\delta\) qui conviennent.

2) Calcule le discriminant \(\Delta\) de l'équation \((E)\), puis résous \((E)\). On notera \(z_1\) la solution dont la partie réelle est positive et \(z_2\) l'autre solution.

3) Vérifie tes résultats en calculant la somme \(z_1+z_2\) et le produit \(z_1z_2\), et en les comparant aux coefficients de \((E)\).

4) Écris \(\dfrac{z_2}{z_1}\) sous forme algébrique, puis donne son module et un argument. Déduis-en la nature du triangle \(OM_1M_2\), où \(M_1\) et \(M_2\) sont les points d'affixes \(z_1\) et \(z_2\).

5) Calcule la distance \(M_1M_2\) et explique pourquoi elle est égale à \(|\delta|\). Calcule enfin l'aire du triangle \(OM_1M_2\), en unités d'aire.

Sur un terrain plat, un géomètre repère chaque point par son affixe dans un repère orthonormé direct dont l'origine \(O\) est un puits ; l'unité de longueur est 10 mètres. Il plante des piquets \(M_0\), \(M_1\), \(M_2\), … d'affixes \(z_0\), \(z_1\), \(z_2\), … telles que \(z_0=8\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(z_{n+1}=\dfrac{1+i}{2}\,z_n\). Il tend ensuite une corde de chaque piquet au suivant. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(r_n=|z_n|\).

1) Calcule \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) et \(z_4\) sous forme algébrique.

2) Calcule le module et un argument de \(q=\dfrac{1+i}{2}\). Démontre que la suite \((r_n)\) est géométrique, puis exprime \(r_n\) en fonction de \(n\).

3) Justifie que \(\dfrac{n\pi}{4}\) est un argument de \(z_n\) et écris \(z_n\) sous forme trigonométrique. Pour quels entiers \(n\) le piquet \(M_n\) est-il sur la droite \((OM_0)\) ?

4) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(M_nM_{n+1}=r_{n+1}\). Déduis-en que le triangle \(OM_nM_{n+1}\) est rectangle et isocèle en \(M_{n+1}\).

5) Pour tout entier \(n\geq 1\), on note \(L_n\) la longueur de corde tendue de \(M_0\) à \(M_n\), en passant par tous les piquets intermédiaires. Démontre que \(L_n=8(1+\sqrt{2})\left(1-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\right)\). Détermine la limite de la suite \((L_n)\) et interprète-la en mètres.

6) Quel est le premier piquet situé à moins de 10 centimètres du puits ? Justifie à l'aide du logarithme népérien.