Exercice 1 — Nombres complexes 4 pts
\(P(Z)=Z^3-(2+2i)Z^2-2Z-8+4i\), dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \((O\,;\vec u\,;\vec v)\) d'unité 2 cm.
1a) Calcul de \(P(2i)\) et recherche de \(a\) et \(b\)
1
On a \((2i)^2=-4\) et \((2i)^3=-8i\). Donc :
\[P(2i)=-8i-(2+2i)(-4)-4i-8+4i=-8i+8+8i-4i-8+4i=0\]
2
\(P(2i)=0\) : \(2i\) est une racine de \(P\), donc \(P(Z)\) se factorise par \(Z-2i\). On développe :
\[(Z-2i)(Z^2+aZ+b)=Z^3+(a-2i)Z^2+(b-2ia)Z-2ib\]
3
On identifie les coefficients avec ceux de \(P(Z)\).
Terme en \(Z^2\) : \(a-2i=-2-2i\), donc \(a=-2\).
Terme constant : \(-2ib=-8+4i\), donc \(b=\dfrac{-8+4i}{-2i}=\dfrac{(-8+4i)\,i}{2}=\dfrac{-8i-4}{2}=-2-4i\).
Contrôle avec le terme en \(Z\) : \(b-2ia=-2-4i+4i=-2\), ce qui est bien le coefficient de \(Z\) dans \(P\).
\(P(2i)=0\), \(a=-2\) et \(b=-2-4i\) : \(P(Z)=(Z-2i)(Z^2-2Z-2-4i)\).
1b) Résolution dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(P(Z)=0\)
2a) Placement des points \(A\), \(B\) et \(C\)
2b) Calcul de \(\dfrac{Z_B-Z_A}{Z_C-Z_A}\) et nature du triangle \(ABC\)
3) Autre écriture de \(f(Z)\)
4a) Ensemble \((E)\) : \(|f(Z)|=\sqrt{2}\)
4b) Ensemble \((F)\) : \(\arg(Z)=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)
4c) Ensemble \((G)\) : \(|f(Z)-(1-i)|=2\sqrt{10}\)
Exercice 2 — Suites numériques 4 pts
\(U_0=2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(\ln(U_{n+1})=1+\ln(U_n)\). L'écriture \(\ln(U_n)\) suppose que tous les termes sont strictement positifs.
1a) La suite \((U_n)\) est géométrique de raison \(e\)
1b) Expression de \(U_n\) en fonction de \(n\)
2) Sens de variation et limite de \((U_n)\)
3) Somme \(S_n=U_0+U_1+\cdots+U_n\)
4a) \(S'_n=\ln(U_1)+\cdots+\ln(U_n)=n\ln 2+\dfrac{n(n+1)}{2}\)
4b) Produit \(P=U_1\times U_2\times\cdots\times U_n\)
Problème — Partie A : étude de la fonction \(f\) 12 pts
\(f(x)=x^2-3+2(1-x)e^{1+x}\) sur \(\mathbb{R}\) ; \((C)\) est sa courbe dans un repère orthonormal \((O\,;\vec i\,;\vec j)\) d'unité 2 cm.
Données du sujet : \(e\approx 2{,}72\) | \(e^2\approx 7{,}4\) | \(e^3\approx 20{,}08\).
A.1a) Autre écriture de \(f(x)\) pour \(x\neq 0\)
A.1b) Limite de \(f\) en \(+\infty\)
A.1c) Limite de \(f\) en \(-\infty\)
A.2a) Dérivée : \(f'(x)=2x\left(1-e^{1+x}\right)\)
A.2b) Sens de variation et tableau de variations
A.3a) \(g\) réalise une bijection de \(I=[0\,;+\infty[\) vers un intervalle \(J\)
A.3b) L'équation \(f(x)=-3\) a une unique solution \(\alpha\) dans \(]1\,;2[\)
A.4) Construction de \((P)\), \((C)\) et \((\Gamma)\)
Problème — Partie B : aire, volume et fonction \(h\)
\(k(x)=(1-x)e^{1+x}\) sur \(\mathbb{R}\), de sorte que \(f(x)=x^2-3+2k(x)\).
B.1a) \(G(x)=(-x+2)e^{1+x}\) est une primitive de \(k\)
B.1b) Aire \(A(\lambda)\), en cm², pour \(\lambda\leq -1\)
B.1c) Limite de \(A(\lambda)\) quand \(\lambda\to-\infty\)
B.2) Volume \(V\), en cm³, du solide engendré par \((\Sigma)\)
B.3a) Parité de \(h\)
B.3b) Comparaison de \(h\) et de \(f\) sur \(]-\infty\,;0]\)
B.3c) Construction de la courbe \((C')\) de \(h\)
