Les Suites Numériques

Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.

Exercice 1 — Nature d'une suite

Déterminer la nature, la raison et le terme général.

1. $(u_n)$ : $u_0=5$, $u_{n+1}=u_n+4$

2. $(v_n)$ : $v_0=3$, $v_{n+1}=2v_n$

Exercice 2 — Terme général et somme

$(u_n)$ arithmétique : $u_1=7$, raison $r=3$.

1. $u_n$  2. $u_{20}$  3. $S=u_1+\cdots+u_{20}$

Exercice 1 — Démonstration par récurrence

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^n \ge 2n+1$.

Exercice 2 — Suite arithmétique

Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r=-3$ et $u_0=10$. Calculer $u_{15}$ et $S=u_0+u_1+\cdots+u_{15}$.

Exercice 2 — Suite géométrique

Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=2$ et $u_0=3$. Calculer $u_6$.

Exercice 3 — Récurrence et monotonie

$u_0=2$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{2}$.

1. $u_1,u_2,u_3$  2. Montrer $u_n<6$  3. Montrer croissance. Conclure.

Exercice 4 — Convergence

$u_n=\dfrac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$. Trouver $\lim u_n$.

Exercice 5 — Suite arithmético-géométrique

$u_0=1$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$. Point fixe $\ell$, $v_n=u_n-\ell$, $u_n=f(n)$, $\lim u_n$, $S_n$.

Exercice 6 — Application financière

50 000 FCFA à 5%/an, retrait 3 000 FCFA/an. $C_n$ capital après $n$ ans.
Récurrence, forme explicite, $C_5$, $C_{10}$, quand $C_n>100000$ ?

Exercice 4 — Somme géométrique et limite

Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=\dfrac12$ et $u_0=64$. Calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_7$, puis déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$.

Exercice 5 — Intérêts composés

On place $100\,000$ F à intérêts composés au taux annuel de $5\%$. Soit $u_n$ le capital après $n$ années. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, calculer $u_5$ (arrondi au franc), et déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse $150\,000$ F.

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}.\]

1. Montre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(0\leqslant u_n<1\).
2. Étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\), puis déduis-en le sens de variation de la suite \((u_n)\).
3. Montre que la suite \((u_n)\) converge et détermine sa limite.
4. On pose, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=\dfrac{1}{1-u_n}\). Montre que \((v_n)\) vérifie une relation de récurrence affine, puis détermine l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
5. Détermine le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(u_n>0{,}99\).

On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par

\[u_0=1,\qquad v_0=3,\]

et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2},\qquad v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+v_n}{2}.\]

1. Calcule \(u_1\) et \(v_1\).
2. On pose \(d_n=v_n-u_n\). Montre que, pour tout entier naturel \(n\), \(d_{n+1}=\dfrac14 d_n\). En déduire l'expression de \(d_n\).
3. Étudie les signes de \(u_{n+1}-u_n\) et \(v_{n+1}-v_n\). Que peux-tu en déduire pour les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) ?
4. Montre que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes, puis qu'elles convergent vers une même limite.
5. Montre que la suite \((u_n+2v_n)\) est constante et détermine la limite commune des suites \((u_n)\) et \((v_n)\).

Pour tout entier naturel \(n\), on définit

\[u_n=\sqrt{n^2+2n+3}-n.\]

1. Transforme l'expression de \(u_n\) pour l'écrire sous la forme d'un quotient sans racine au numérateur.
2. On considère la fonction \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) par \(f(x)=\sqrt{x^2+2x+3}-x\). Étudie le sens de variation de \(f\), puis déduis-en celui de la suite \((u_n)\).
3. Montre que, pour tout entier naturel \(n\), \(1<u_n<2\).
4. Déduis des questions précédentes que la suite \((u_n)\) converge, puis détermine sa limite.
5. Détermine la limite de la suite \(\big(n(u_n-1)\big)\).