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Terminale D

Bac D 2020 — 1er tour

Annale officielleDurée 4 hSur 20 points5 parties corrigées
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Conseil : fais d'abord le sujet dans les conditions de l'examen (4 h, sans le corrigé), puis compare ta copie au corrigé.

Dans ce sujet

  1. 1Exercice 1 — Suites4 pts · 4 questions corrigées

    À revoir : Les Suites Numériques

  2. 2Exercice 2 — Statistiques / Freinage4 pts · 3 questions corrigées

    À revoir : Statistiques à Deux Variables

  3. 3Problème — Partie A6 pts · 5 questions corrigées

    À revoir : Les Fonctions Numériques

  4. 4Problème — Partie B2 pts · 3 questions corrigées

    À revoir : Logarithme Népérien, Calcul Intégral

  5. 5Problème — Partie C4 pts · 3 questions corrigées

    À revoir : Les Suites Numériques, Fonction Exponentielle

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Exercice 1 — Suites 4 pts

$U_{n+1}=\dfrac{4(1+2U_n)}{4-U_n}$,   $U_0=-3$

1) Calcul de $U_1$, $U_2$, $U_3$

1
$U_1=\dfrac{4(1+2\times(-3))}{4-(-3)}=\dfrac{4(1-6)}{7}=\dfrac{4\times(-5)}{7}=-\dfrac{20}{7}$
2
$U_2=\dfrac{4\!\left(1+2\times\left(-\frac{20}{7}\right)\right)}{4-\left(-\frac{20}{7}\right)}=\dfrac{4\times\left(-\frac{33}{7}\right)}{\frac{48}{7}}=\dfrac{-\frac{132}{7}}{\frac{48}{7}}=-\dfrac{132}{48}=-\dfrac{11}{4}$
3
$U_3=\dfrac{4\!\left(1-\frac{11}{2}\right)}{4+\frac{11}{4}}=\dfrac{4\times\left(-\frac{9}{2}\right)}{\frac{27}{4}}=\dfrac{-18}{\frac{27}{4}}=-18\times\dfrac{4}{27}=-\dfrac{8}{3}$
$U_1=-\dfrac{20}{7}$  •  $U_2=-\dfrac{11}{4}$  •  $U_3=-\dfrac{8}{3}$

2) $(U_n)$ majorée par $-2$ — récurrence

3) Monotonie et convergence

4) Suite $V_n=\dfrac{1}{U_n+2}$ — nature, formule, $U_n$ et $S_n$

Exercice 2 — Statistiques / Freinage 4 pts

$x_i$ (km/h) 3040506070 8090100110120
$y_i$ (m) 1826405876 98120148180212

1) Nuage de points et ajustement affine

2) Droite de Mayer $(\Delta)$

3) Estimations

Problème — Partie A 6 pts

$f(x)=\begin{cases}2(x-1)\ln(1-x) & \text{si } x < 1\\(x-2)e^{-x+1}+1 & \text{si } x\geq1\end{cases}$
Données : $\frac{2}{e}\approx0{,}73$  ;  $\frac{1}{e^2}\approx0{,}13$  ;  $\ln2\approx0{,}69$  ;  $\ln\frac{3}{2}\approx0{,}40$  ;  $e^{2/3}\approx1{,}947$.

1) Limites de $f$

2) Continuité en $1$

3) Dérivabilité en $1$ — demi-tangentes

4) Variations de $f$ — tableau complet

5) Unique $\alpha\in\left[-1\,;\,-\dfrac{1}{2}\right]$ tel que $f(\alpha)=-2$

Problème — Partie B 2 pts

1) Décomposition de $\dfrac{x^2-2x}{x-1}$

2) $I=\displaystyle\int_0^{1-1/e}(x-1)\ln(1-x)\,dx$

3) Aire en cm²

Problème — Partie C 4 pts

1 a) $f(x)=-2 \Leftrightarrow h(x)=x$ avec $h(x)=1-e^{\frac{1}{1-x}}$

1 b–c) $h(I)\subset I$ et $|h'(x)|\leq\dfrac{7}{8}$ sur $I=\left[-1\,;\,-\dfrac{1}{2}\right]$

2) Suite $U_n$ définie par $U_0=-1$, $U_{n+1}=h(U_n)$ — convergence vers $\alpha$

Mode hors-ligne — données en cache