Bac D 2017 — 2nd tour

Exercice 1 — Suites 4 pts

$U_0=\dfrac{1}{2}$, $\;U_{n+1}=\dfrac{3U_n}{1+2U_n}$, $U_n>0$ pour tout $n$ (admis).

1) Démontrer par récurrence que $U_n < 1$

2) $(U_n)$ croissante et convergente

3a–c) Suite $V_n$, expression de $U_n$ et limite

Exercice 2 — Courbe paramétrée 4 pts

$x(t)=\cos t$, $\;y(t)=\dfrac{\sin^2 t}{2+\sin t}$, $t\in\!\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]$, unité graphique : $6$ cm.

1) Symétrie : $M(t)$ et $M(\pi-t)$

2a) Calcul de $y'(t)$

2b) Variations sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ et tracé

Problème — Partie A 12 pts

$f(x)=(x+1)e^{1-x}$ si $x\leq1$   et   $f(x)=\dfrac{2}{x}-\ln x$ si $x>1$

1a–c) Limites, comportement et continuité en $1$

2) Dérivabilité de $f$ en $x=1$

3) Dérivée, signe et tableau de variations

4) Zéros de $f$

Problème — Partie B

1) $\displaystyle\int_1^\alpha \ln x\,dx$ par IPP

2) Aire $A$ entre $(C)$ et l'axe $Ox$ sur $[1\,;\,\alpha]$, et simplification

3) Trajectoire de $M$ : partie de $(C)$