Exercice 1 — Nombres complexes 4 pts
$P(z)=z^4-4(1+i)z^3+12iz^2+8(1-i)z-20$
1a) $(1-i)^2$ et solutions de $z^2=-2i$
1
$(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.
2
Donc $z^2 = -2i = (1-i)^2$, ce qui donne $z^2 - (1-i)^2 = 0$, soit $(z-(1-i))(z+(1-i))=0$.
$(1-i)^2 = -2i$ → Solutions de $z^2=-2i$ : $\{1-i\,;\,-1+i\}$
1b) Déterminer $b$ et $c$ tels que $P(z)=(z^2+2i)(z^2+bz+c)$
2) Résolution de $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$
3) Points $A,B,C,D$ — Triangle $ABC$ et quadrilatère $ABCD$
Exercice 2 — Géométrie dans l'espace 4 pts
$A(-1;1;-3)$, $B(-2;3;-3)$, $C(-2;1;0)$, $I(-1;3;0)$
1) Calcul de $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$
2) Distance de $I$ au plan $(ABC)$
3) Aire du triangle $ABC$ et volume de la pyramide $IABC$
Problème — Partie A 12 pts
$g(x)=1+x-x\ln x$ définie sur $I=[1\,;\,+\infty[$
1) Limites de $g$ aux bornes de $I$
2) Sens de variation de $g$
3) Unique solution $\alpha$ de $g(x)=0$ dans $\left]3{,}5\,;\,4\right[$
4) Signe de $g$ sur $I$
Problème — Partie B
$f(x)=\dfrac{\ln x}{1+x}$ si $x\geq1$ et $f(x)=e^{1-x}$ si $x<1$
Unités graphiques : $\|\vec{i}\|=1$ cm, $\|\vec{j}\|=2$ cm
1) Limites de $f$ en $\pm\infty$
2) Dérivabilité de $f$ en $x=1$
3) Calcul de $f'(x)$ et lien avec $g$
4) Signe de $f'$ et tableau de variations complet
5) Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha}$
Problème — Partie C
$J_n=\displaystyle\int_1^e x^2(\ln x)^n\,dx$, $n\in\mathbb{N}$
1) Calcul de $J_0$
2) $J_n\geq0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$
3–4) $(J_n)$ est décroissante et convergente
5) Relation de récurrence $3J_{n+1}+(n+1)J_n=e^3$
6) Valeurs exactes de $J_1$ et $J_2$
