Exercice — QCM, 4 questions indépendantes 4 pts
Q1) Équation différentielle $y''+4y=0$, avec $f(\pi)=-1$, $f'(\pi)=0$
1
Équation caractéristique : $r^2+4=0\Rightarrow r=\pm2i$. Solution générale : $y=A\cos(2x)+B\sin(2x)$.
2
$f(\pi)=A\cos(2\pi)+B\sin(2\pi)=A=-1$.
$f'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)$, donc $f'(\pi)=2B=0\Rightarrow B=0$.
Réponse : $f(x)=-\cos(2x)$
Q2) Schéma de Bernoulli, $p=\frac{1}{5}$, $n=10$, $E(X)=\,?$
Q3) Point $E$ tel que $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AD}$
Q4) Équation $(E):-z^2+2iz+1+i=0$
Problème — Partie A : Équations différentielles 3 pts
$(E):2y'-y=0$ $(E'):2y'-y=(1-x)e^{x/2}$
1) Résolution de $(E):2y'-y=0$
2a) Trouver $m$, $p$ tels que $f(x)=(mx^2+px)e^{x/2}$ soit solution de $(E')$
2b) $g$ solution de $(E')$ $\Leftrightarrow$ $g-f$ solution de $(E)$, puis solution générale
3) Solution $g_0$ passant par $A(1\,;\,0)$
Problème — Partie B : Étude de $h(x)=-\dfrac{1}{4}(x-1)^2e^{x/2}$ 6 pts
Donnée : $e^{-1/2}\approx0{,}2$ | Unité graphique : 1 cm.
1) Limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$
2) Calcul de $h'(x)=-\dfrac{1}{8}(x-1)(x+3)e^{x/2}$
3–5) Signe de $h'$, variations, tableau
6) Position de $(C)$ par rapport à $(T):y=-e^{x/2}$
7) Primitive $H(x)=(ax^2+bx+c)e^{x/2}$ — coefficients et aire $A$
Problème — Partie C : Suite $(U_n)$ 2 pts
$U_n=\displaystyle\int_{n+1}^{n+2}-h(t)\,dt$, $n\in\mathbb{N}$. Donnée : $e^{-1/2}\approx0{,}2$.
1) Interprétation graphique de $U_0$
2) Encadrement $-h(n+1)\leq U_n\leq-h(n+2)$ — monotonie
3) Convergence de $(U_n)$
Situation d'intégration — Association Agri-Partner 5 pts
Production de pommes de terre. Prix de vente : 300 000 F/tonne, augmentation 4 %/an.
Données : $(1{,}04)^{10}\approx1{,}48$ | $\ln(1{,}13)\approx0{,}12$ | $\ln(1{,}04)\approx0{,}04$
Tableau — Année $X_i$ : 1, 2, 3, 4, 5, 6 | Production $Y_i$ (t) : 50, 75, 100, 120, 150, 180
1) Production à la 10ᵉ année — commande de 1 000 t satisfaisable ? (1,5 pt)
2) Investissement de 50 000 000 F à partir du CA de la 10ᵉ année (1,5 pt)
3) Années supplémentaires pour CA ≥ 500 000 000 F (2 pts)
