Les Fonctions Numériques

Exercice 1 — Domaine de définition d'une fonction

Déterminer le domaine de définition $D_f$ de chacune des fonctions suivantes :

1. $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$

2. $g(x) = \sqrt{2x - 6}$

Exercice 2 — Calcul de dérivées usuelles

Calculer la dérivée $f'(x)$ de chacune des fonctions suivantes :

1. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$

2. $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$

Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée

Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.

Exercice 1 — Limite d'un polynôme

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (5x^3-2x+1)$.

Exercice 2 — Limite d'une fraction rationnelle

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x-2}{x+5}$.

Exercice 2 — Équation d'une tangente

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2-3x+2$ au point d'abscisse $x_0=1$.

Exercice 2 — Asymptotes

Déterminer les asymptotes de $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$.

Exercice 3 — Sens de variation et tableau de variations

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$.

1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.

2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.

3. Dresser le tableau de variations complet de $f$.

Exercice 4 — Étude de fonction rationnelle

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2}$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)$. Interpréter graphiquement.

3. Montrer que $f(x) = x + 1$ pour $x \neq 2$. En déduire la représentation graphique de $f$.

4. Étudier les variations de $f$ sur chacun de ses intervalles de définition.

Exercice 3 — Existence et encadrement d'une solution

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.

Exercice 3 — Quantité conjuguée

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\right)$.

Exercice 5 — Étude complète — type Bac

Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 1$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de $f$.

3. Montrer que $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2$ et en déduire le signe de $f(x)$.

4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 4$.

5. Tracer la courbe représentative de $f$ sur $]0\,;\,9]$.

Exercice 4 — Une application astucieuse du TVI (corde horizontale)

Soit $f$ continue sur $[0;1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in [0\,; \tfrac12]$ tel que $f(c) = f\!\left(c+\tfrac12\right)$.

Exercice 5 — Point fixe de la fonction cosinus

On considère $f(x) = \cos x - x$ sur $[0\,;\pi]$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

Exercice 4 — Limites à gauche et à droite

Soit $f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{+}} f(x)$, puis conclure sur l'existence d'une limite globale en $\dfrac32$.

Exercice 6 — Limite en $-\infty$

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$.

Exercice 6 — Limite d'une suite rationnelle

Soit $u_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ en réécrivant $u_n$ sous une forme adaptée.

On dispose d’une plaque métallique carrée de côté 30 cm. On découpe dans chaque coin un carré de côté \(x\) cm, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle.

On note \(V(x)\) le volume de la boîte, pour \(x\in]0,15[\).

1. Justifie que \(V(x)=x(30-2x)^2\). Calcule \(\lim_{x\to 0^+}V(x)\) et \(\lim_{x\to 15^-}V(x)\), puis interprète ces deux résultats.
2. Calcule \(V'(x)\) et factorise l’expression obtenue.
3. Étudie le signe de \(V'(x)\), dresse le tableau de variations de \(V\) et détermine le volume maximal possible.
4. Calcule \(V''(x)\). Étudie la concavité de la courbe de \(V\) et précise l’abscisse du point d’inflexion.
5. Détermine l’approximation affine de \(V\) au voisinage de \(x=2\), puis estime le volume obtenu pour \(x=2{,}1\) cm.

On considère la fonction \(f\) définie par

\[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+x-2}{x-1}&\text{si }x<1,\\ a&\text{si }x=1,\\ b\sqrt{x}+c&\text{si }x>1.\end{cases}\]

1. Détermine les réels \(a\), \(b\) et \(c\) pour que \(f\) soit continue et dérivable en \(1\).
2. Avec les valeurs trouvées, écris l’expression explicite de \(f\) et détermine l’équation de la tangente à la courbe en \(x=1\).
3. Étudie les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Montre que, pour tout \(x>1\), on a \(f(x)\le x+2\). Interprète ce résultat par rapport à la tangente en \(x=1\).
5. Déduis-en que, pour tout réel \(m\), l’équation \(f(x)=m\) admet une unique solution. Résous ensuite explicitement l’équation \(f(x)=5\).

Pour tout réel \(m\), on considère la fonction

\[g_m(x)=x^3-3x+m.\]

1. On commence par étudier la fonction \(\varphi(x)=x^3-3x\). Calcule \(\varphi'(x)\), puis dresse son tableau de variations.
2. Déduis-en les variations de \(g_m\) et les valeurs de ses extremums locaux en fonction de \(m\).
3. Selon les valeurs de \(m\), détermine le nombre de solutions réelles de l’équation \(g_m(x)=0\). Tu justifieras chaque cas.
4. Résous exactement l’équation \(x^3-3x+2=0\).
5. Dans le cas \(m=1\), montre que l’équation \(x^3-3x+1=0\) admet trois solutions réelles distinctes \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) avec \(\alpha\in]-2,-1[\), \(\beta\in]0,1[\) et \(\gamma\in]1,2[\).