Terminale D

Bac D 2024 — 2nd tour

Annale officielleDurée 4 hSur 20 points3 parties corrigées

Ouvrir le sujet officiel (PDF)Aller au corrigé

Conseil : fais d'abord le sujet dans les conditions de l'examen (4 h, sans le corrigé), puis compare ta copie au corrigé.

Dans ce sujet

1Partie A — Étude de $h(x)=x^2+2x+3-2\ln(x+1)$3 pts · 2 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques, Logarithme Népérien
2Partie B — Étude complète de $f$7 pts · 7 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques
3Parties C et D — Bijection réciproque & Intégrale2 pts · 4 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques, Logarithme Népérien, Calcul Intégral

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Partie A — Étude de $h(x)=x^2+2x+3-2\ln(x+1)$ 3 pts

Domaine : $\,]-1\,;\,+\infty[$

A1) Dérivée de $h$ et tableau de variations

$h'(x)=2x+2-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{2(x+1)^2-2}{x+1}=\dfrac{2x(x+2)}{x+1}$

Pour $x\in\,]-1;+\infty[$, on a $(x+1)>0$, donc le signe de $h'$ dépend de $x(x+2)$ :

$-10$ → $h'(x)<0$
$x>0$ : $x>0$ et $x+2>0$ → $h'(x)>0$

$x$	$-1$		$0$		$+\infty$
$h'(x)$		$-$	$0$	$+$
$h(x)$	$+\infty$	↘	$3$	↗	$+\infty$

$h$ décroissante sur $]-1;0]$, croissante sur $[0;+\infty[$. Minimum en $x=0$.

A2) Valeur de $h(0)$ et signe de $h$

Partie B — Étude complète de $f$ 7 pts

$f(x)=x+\sqrt{x^2-x}$ si $x<0$ et $f(x)=x+\dfrac{2\ln(x+1)}{x+1}$ si $x\geq0$

Bac D 2024 — 2nd tour

Dans ce sujet

Corrigé détaillé

Partie A — Étude de $h(x)=x^2+2x+3-2\ln(x+1)$ 3 pts

A1) Dérivée de $h$ et tableau de variations

A2) Valeur de $h(0)$ et signe de $h$

Partie B — Étude complète de $f$ 7 pts

B1) Continuité en $x=0$

B2a) Réécriture de $\dfrac{f(x)}{x}$ pour $x<0$

B2b) Dérivabilité en $0$ — demi-tangentes

B3) Limites aux bornes — asymptote $y=\frac{1}{2}$ en $-\infty$

B4) $f'(x)=\dfrac{h(x)}{(x+1)^2}$ sur $]0;+\infty[$ — tableau de variations

B5) Asymptote $(D):y=x$ en $+\infty$ et position de $(C)$

B6) Tangente $(T)\parallel(D)$ au point $A\!\left(e-1\,;\,e-1+\frac{2}{e}\right)$

Parties C et D — Bijection réciproque & Intégrale 2 pts

Partie C — Bijection réciproque $g^{-1}$

C1) $g=f|_{[0;+\infty[}$ bijecte $[0;+\infty[$ vers $[0;+\infty[$

C2) Construction de $(\Gamma)$ — courbe de $g^{-1}$

D1) Montrer que $I=\displaystyle\int_1^3\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\,dx=\dfrac{3(\ln2)^2}{2}$

D2) Aire $A$ entre $(C)$, $(D):y=x$, $x=1$ et $x=3$

Dans ce sujet

Corrigé détaillé

Partie A — Étude de $h(x)=x^2+2x+3-2\ln(x+1)$ 3 pts

A1) Dérivée de $h$ et tableau de variations

A2) Valeur de $h(0)$ et signe de $h$

Partie B — Étude complète de $f$ 7 pts

B1) Continuité en $x=0$

B2a) Réécriture de $\dfrac{f(x)}{x}$ pour $x<0$

B2b) Dérivabilité en $0$ — demi-tangentes

B3) Limites aux bornes — asymptote $y=\frac{1}{2}$ en $-\infty$

B4) $f'(x)=\dfrac{h(x)}{(x+1)^2}$ sur $]0;+\infty[$ — tableau de variations

B5) Asymptote $(D):y=x$ en $+\infty$ et position de $(C)$

B6) Tangente $(T)\parallel(D)$ au point $A\!\left(e-1\,;\,e-1+\frac{2}{e}\right)$

Parties C et D — Bijection réciproque & Intégrale 2 pts

Partie C — Bijection réciproque $g^{-1}$

C1) $g=f|_{[0;+\infty[}$ bijecte $[0;+\infty[$ vers $[0;+\infty[$

C2) Construction de $(\Gamma)$ — courbe de $g^{-1}$

D1) Montrer que $I=\displaystyle\int_1^3\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\,dx=\dfrac{3(\ln2)^2}{2}$

D2) Aire $A$ entre $(C)$, $(D):y=x$, $x=1$ et $x=3$

Connexion requise