Exercice 1 — Courbe paramétrée 4 pts
$x(t)=\sin t$, $y(t)=\cos 3t$, $t\in\mathbb{R}$, unité $4$ cm.
1) Comparaisons de points — symétries
1
a) $M(t+2\pi)=M(t)$ : $\sin$ et $\cos 3t$ sont $2\pi$-périodiques → courbe $2\pi$-périodique, étude sur $[0\,;\,2\pi[$ suffit.
2
b) $M(-t)$ : $x(-t)=\sin(-t)=-\sin t=-x(t)$ et $y(-t)=\cos(-3t)=\cos 3t=y(t)$
→ symétrie par rapport à l'axe $Oy$ → étude sur $[0\,;\,\pi[$ suffit.
3
c) $M(\pi-t)$ : $x(\pi-t)=\sin(\pi-t)=\sin t=x(t)$ et $y(\pi-t)=\cos(3\pi-3t)=-\cos 3t=-y(t)$
→ symétrie par rapport à l'axe $Ox$ → étude sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ suffit.
Domaine réduit : $I=\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
2) Variations de $x$ et $y$ sur $I=\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$
3) Tangentes en $t=0$, $t=\pi/3$ et $t=\pi/2$
Exercice 2 — Géométrie dans l'espace 4 pts
$A(-1\,;\,2\,;\,-3)$, $\overrightarrow{AB}=(3\,;\,-2\,;\,1)$, $C(0\,;\,-2\,;\,0)$
1) Coordonnées de $B$
2) Nature de $ABCD$ et coordonnées de $D$
3) Distance $d_1$ (de $O$ à la droite $AB$) et $d_2$ (de $O$ au plan $ABC$)
4) Volume de la pyramide $ABCD$-$O$
Problème — Partie A 4 pts
$g(x)=1-(x^2-4x+5)e^{-x+1}$
Données : $e^{-0{,}35}\approx0{,}7$ ; $e^{-0{,}36}\approx0{,}69$
1) Limites de $g$
2) Dérivée et variations de $g$
3) Unique zéro $\alpha\in[1{,}35\,;\,1{,}36]$ et signe de $g$
Problème — Partie B 5 pts
$f(x)=x-3+(x^2-2x+3)e^{-x+1}$, unité $2$ cm.
1) Limites de $f$
2) $f'(x)=g(x)$ — variations de $f$
3 a–b) Asymptote $(D):y=x-3$ et position de $(C)$
3 c) Tangente $(T)$ en $x=1$
Problème — Partie C 3 pts
1) Calcul de $I=\displaystyle\int_1^\alpha(x^2-2x+3)e^{-x+1}\,dx$ (double IPP)
2) Aire $\mathcal{A}$ entre $(C)$, $x=1$, $x=\alpha$ et l'axe $Ox$
