Terminale D · Leçon 12
Géométrie dans l'Espace
Exercices corrigés
Repère de l'espace — coordonnées et vecteurs
Exercice 1 — Vecteurs dans l'espace
Dans le repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne $A(1;2;3)$, $B(4;0;1)$, $C(2;3;5)$.
1. Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2. Norme $|\overrightarrow{AB}|$ et distance $AB$.
3. Coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$.
4. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont-ils colinéaires ?
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- $\overrightarrow{AB}=B-A=(3;-2;-2)$ · $\overrightarrow{AC}=C-A=(1;1;2)$
- $AB=\sqrt{3^2+(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4+4}=\boxed{\sqrt{17}\approx4{,}12}$
- $M=\dfrac{A+B}{2}=\left(\dfrac{5}{2};1;2\right)=\boxed{(2{,}5\,;\,1\,;\,2)}$
- Colinéaires si $\exists\lambda$ tel que $(3;-2;-2)=\lambda(1;1;2)$ → $3=\lambda$, $-2=\lambda$ : contradiction → non colinéaires.
Produit scalaire — angle entre vecteurs — orthogonalité
Exercice 2 — Produit scalaire et angles
On donne $\vec{u}=(2;1;-2)$ et $\vec{v}=(1;3;1)$.
1. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$.
2. $|\vec{u}|$, $|\vec{v}|$, puis angle $\theta=\arccos\!\left(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\right)$.
3. Trouver $t\in\mathbb{R}$ tel que $\vec{w}=(t;1;2)$ soit orthogonal à $\vec{u}$.
4. Dans un cube de côté 1, calculer $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BF}$ ($A$ origine, $G$ sommet opposé).
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- $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times1+1\times3+(-2)\times1=2+3-2=\boxed{3}$
- $|\vec{u}|=\sqrt{4+1+4}=3$ · $|\vec{v}|=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}$ · $\cos\theta=\dfrac{3}{3\sqrt{11}}=\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ → $\theta\approx\boxed{72{,}5°}$
- $\vec{w}\perp\vec{u}$ : $2t+1\times1+(-2)\times2=0$ → $2t-3=0$ → $\boxed{t=\tfrac{3}{2}}$
- $\overrightarrow{AG}=(1;1;1)$, $\overrightarrow{BF}=(0;0;1)$ → $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BF}=0+0+1=\boxed{1}$
Équation cartésienne d'un plan — positions relatives
Exercice 3 — Plans dans l'espace
1. Déterminer l'équation du plan $(\mathcal{P})$ passant par $A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$, $C(0;2;1)$.
Méthode : trouver un vecteur normal $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$, puis écrire $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0$.
2. Vérifier que $D(2;-1;3)$ est dans $(\mathcal{P})$ ou non.
3. Équation du plan parallèle à $(\mathcal{P})$ passant par l'origine.
4. Position relative des deux plans : parallèles ou sécants ?
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- $\overrightarrow{AB}=(2;1;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;2;-1)$.
$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-2\\-1&2&-1\end{vmatrix}$
$=(1\times(-1)-(-2)\times2\;;\;(-2)\times(-1)-2\times(-1)\;;\;2\times2-1\times(-1))=(3;4;5)$
Plan : $3(x-1)+4(y-0)+5(z-2)=0$ → $\boxed{3x+4y+5z-13=0}$ - $3\times2+4\times(-1)+5\times3-13=6-4+15-13=4\neq0$ → $D\notin(\mathcal{P})$.
- Même vecteur normal, passe par O(0;0;0) : $3\times0+4\times0+5\times0+d=0$ → $\boxed{3x+4y+5z=0}$
- Même vecteur normal $(3;4;5)$ mais $d_1=-13\neq d_2=0$ → plans parallèles distincts.
Droites dans l'espace — intersection, parallèles, gauches
Exercice 4 — Positions relatives de droites
$(d_1)$ : $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-1}{3}$ (vecteur directeur $\vec{v_1}=(2;1;3)$)
$(d_2)$ : $\begin{cases}x=3+t\\y=1-t\\z=4+2t\end{cases}$ (vecteur directeur $\vec{v_2}=(1;-1;2)$)
1. $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ sont-ils colinéaires ?
2. Chercher un point d'intersection éventuel (résoudre le système). Conclure : sécantes ou gauches ?
3. Trouver l'équation du plan contenant $(d_1)$ et parallèle à $(d_2)$.
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- $(2;1;3)=k(1;-1;2)$ → $k=2$ et $k=-1$ : contradiction → non colinéaires, droites non parallèles.
- Paramétrique de $(d_1)$ : $x=1+2s$, $y=2+s$, $z=1+3s$. On égalise :
$(I)$ : $1+2s=3+t$ · $(II)$ : $2+s=1-t$ · $(III)$ : $1+3s=4+2t$
De $(II)$ : $t=-(1+s)$. Dans $(I)$ : $1+2s=3-(1+s)$ → $3s=1$ → $s=\frac{1}{3}$, $t=-\frac{4}{3}$.
Vérification $(III)$ : $1+1=2\neq4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$ → contradiction → droites gauches. - Plan contenant $(d_1)$ et $\parallel$ à $\vec{v_2}$ : normale $\vec{n}=\vec{v_1}\wedge\vec{v_2}=(1\times3-3\times(-1)\,;\,3\times1-2\times2\,;\,2\times(-1)-1\times1)=(5;-1;-3)$
Passant par $A(1;2;1)$ : $5(x-1)-(y-2)-3(z-1)=0$ → $\boxed{5x-y-3z=0}$
Distances dans l'espace — point-plan et point-droite
Exercice 5 — Calculs de distances
Plan $(\mathcal{P})$ : $2x-y+2z-6=0$ · Droite $(d)$ : $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}$ · Point $M(3;1;-1)$
1. Distance de $M$ au plan $(\mathcal{P})$ : $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|2\times3-1+2\times(-1)-6|}{\sqrt{4+1+4}}$.
2. Pied de la perpendiculaire de $M$ sur $(\mathcal{P})$.
3. Distance de $M$ à la droite $(d)$.
4. Distance entre les plans parallèles $(\mathcal{P})$ : $2x-y+2z=6$ et $(\mathcal{P}')$ : $2x-y+2z=12$.
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- $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|2\times3-1+2\times(-1)-6|}{\sqrt{9}}=\dfrac{|6-1-2-6|}{3}=\dfrac{3}{3}=\boxed{1}$
- Droite normale à $(\mathcal{P})$ par $M$ : $(x,y,z)=(3+2t\,;\,1-t\,;\,-1+2t)$. Dans $(\mathcal{P})$ : $2(3+2t)-(1-t)+2(-1+2t)=6$ → $6+4t-1+t-2+4t=6$ → $9t=3$ → $t=\frac{1}{3}$. Pied $H=\left(\frac{11}{3}\,;\,\frac{2}{3}\,;\,-\frac{1}{3}\right)$.
- Point de $(d)$ le plus proche de $M$ : $A=(1,-1,2)$, $\vec{v}=(1,2,1)$. $\overrightarrow{AM}=(2,2,-3)$. $t_0=\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=\dfrac{2+4-3}{6}=\dfrac{1}{2}$. Pied $=(1{,}5\,;\,0\,;\,2{,}5)$. $d=\left|\overrightarrow{MH'}\right|=\sqrt{(1{,}5)^2+1^2+(3{,}5)^2}=\sqrt{2{,}25+1+12{,}25}=\boxed{\sqrt{15{,}5}\approx3{,}94}$
- $d(\mathcal{P},\mathcal{P}')=\dfrac{|6-12|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{6}{3}=\boxed{2}$
Sphère — équation, intersection sphère/plan
Exercice 6 — Sphère et intersection
Sphère $(\mathcal{S})$ de centre $\Omega(1;2;3)$ et de rayon $R=4$.
1. Équation de $(\mathcal{S})$. 2. $P(3;5;0)$ est-il sur $(\mathcal{S})$ ? 3. Intersection avec le plan $z=3$ : nature et rayon. 4. Plan tangent en $P'(1;2;7)$. 5. Distance de $\Omega$ au plan $x+y+z=0$ : la sphère coupe-t-elle ce plan ?
Produit vectoriel — aire, normale, coplanarité
Exercice 7 — Produit vectoriel
$\vec{u}=(1;2;-1)$, $\vec{v}=(3;0;2)$, $A(0;1;0)$, $B(2;3;1)$, $C(1;-1;3)$, $D(4;2;2)$.
1. Calculer $\vec{u}\wedge\vec{v}$. Vérifier l'orthogonalité. 2. Aire du parallélogramme $(\vec{u},\vec{v})$. 3. Équation du plan $(ABC)$. 4. $A$, $B$, $C$, $D$ sont-ils coplanaires ? 5. Volume du tétraèdre $ABCD$.
Pyramide à base carrée — volume, hauteur, sections planes
Exercice 8 — Pyramide à base carrée
Pyramide $SABCD$ : base $ABCD$ carrée de côté $a=4$, sommet $S$ situé au-dessus du centre $O$ de la base à hauteur $h=6$. Repère : $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(4;4;0)$, $D(0;4;0)$, $S(2;2;6)$.
1. Volume $V=\frac{1}{3}\times\text{Aire base}\times h$. 2. Longueur de l'arête latérale $SA$. 3. Équation du plan $(SAB)$. 4. Section par le plan $z=3$ : nature et dimensions. 5. Apothème de la pyramide.
Problème complet type Bac — plans, droites, distances
Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso
Dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne les points :
$A(2;1;3)$, $B(0;3;1)$, $C(4;-1;5)$, $D(1;2;-1)$
Partie A — Étude du plan $(ABC)$
1. Montrer que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.
2. Déterminer l'équation cartésienne du plan $(ABC)$.
3. Vérifier que $D\notin(ABC)$. Calculer $d(D,(ABC))$.
Partie B — Droite et intersection
4. Équation de la droite $(BD)$. Trouver l'intersection de $(BD)$ avec $(ABC)$.
5. Le point $E$ est le pied de la perpendiculaire de $D$ sur $(ABC)$. Trouver les coordonnées de $E$.
Partie C — Volume
6. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.
Tétraèdre : aire d'une face, volume, hauteur et projeté orthogonal
L'espace est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). On considère les points \(A(1\,;\,0\,;\,2)\), \(B(3\,;\,1\,;\,0)\), \(C(0\,;\,2\,;\,1)\), \(D(5\,;\,7\,;\,4)\) et \(H(2\,;\,3\,;\,-1)\).
1) Calcule les coordonnées du vecteur \(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\). Justifie que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés et vérifie, à l'aide du produit scalaire, que \(\vec{n}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) et à \(\overrightarrow{AC}\).
2) Calcule l'aire du triangle \(ABC\).
3) Calcule \(\overrightarrow{AD}\cdot\vec{n}\). Déduis-en que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) ne sont pas coplanaires, puis calcule le volume du tétraèdre \(ABCD\).
4) Calcule la distance du point \(D\) au plan \((ABC)\). Contrôle ton résultat en retrouvant le volume du tétraèdre à partir de l'aire de la base \(ABC\) et de cette hauteur.
5) Démontre que \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) et que \(\overrightarrow{HD}=\vec{n}\). Déduis-en que \(H\) est le projeté orthogonal de \(D\) sur le plan \((ABC)\) et retrouve la distance de la question 4.
6) Quelle est la nature du quadrilatère \(ABHC\) ? Calcule son aire, puis le volume de la pyramide de sommet \(D\) et de base \(ABHC\). Compare ce volume à celui du tétraèdre \(ABCD\).
Un drone et une antenne relais : distance d'un point à une droite
L'espace est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) dans lequel le sol est le plan contenant \(O\), \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\), et où \(\vec{k}\) est vertical. L'unité de longueur est 100 mètres. Un drone qui surveille des cultures part du point \(A(2\,;\,2\,;\,2)\) et vole en ligne droite à vitesse constante : à l'instant \(t\), en minutes, avec \(0\leq t\leq 5\), il se trouve au point \(P\) tel que \(\overrightarrow{AP}=t\,\vec{u}\), où \(\vec{u}(2\,;\,2\,;\,1)\). Une antenne relais est installée au sol, au point \(M(10\,;\,4\,;\,0)\).
1) Exprime les coordonnées de \(P\) en fonction de \(t\) et donne celles du point \(B\) atteint à l'instant \(t=5\). Calcule \(\|\vec{u}\|\), puis la vitesse du drone en mètres par minute et la longueur du trajet \(AB\) en mètres.
2) Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AM}\wedge\vec{u}\), puis la distance du point \(M\) à la droite \((AB)\), en mètres.
3) On pose \(f(t)=MP^2\). Démontre que \(f(t)=9t^2-36t+72\), étudie les variations de \(f\) sur \([0\,;\,5]\) et retrouve le résultat de la question 2.
4) Soit \(H\) la position du drone à l'instant \(t=2\). Calcule \(\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}\) et interprète géométriquement le résultat.
5) La liaison entre le drone et l'antenne n'est possible que si \(MP\leq 7{,}5\). Pendant combien de temps la liaison est-elle possible au cours du vol ? Est-elle possible au départ ?
Pavé droit : plan diagonal, distance et points d'une même sphère
\(ABCDEFGH\) est un pavé droit tel que \(AB=6\), \(AD=3\) et \(AE=2\). L'espace est muni d'un repère orthonormé direct d'origine \(A\) dans lequel \(B(6\,;\,0\,;\,0)\), \(D(0\,;\,3\,;\,0)\), \(E(0\,;\,0\,;\,2)\) et \(G(6\,;\,3\,;\,2)\).
1) Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{BD}\wedge\overrightarrow{BE}\). Déduis-en que le vecteur \(\vec{n}(1\,;\,2\,;\,3)\) est normal au plan \((BDE)\).
2) Calcule l'aire du triangle \(BDE\).
3) Calcule le volume du tétraèdre \(ABDE\) de deux façons : en prenant le triangle \(ABD\) pour base, puis avec les produits vectoriel et scalaire. Déduis-en la distance du point \(A\) au plan \((BDE)\).
4) La diagonale \((AG)\) du pavé est-elle perpendiculaire au plan \((BDE)\) ? Justifie.
5) On note \(K\) le projeté orthogonal de \(A\) sur le plan \((BDE)\). On admet qu'un point \(K\) appartient à ce plan si et seulement si \(\overrightarrow{BK}\cdot\vec{n}=0\). En écrivant \(\overrightarrow{AK}=t\,\vec{n}\), où \(t\) est un réel, détermine \(t\), puis les coordonnées de \(K\), et retrouve la distance de la question 3.
6) Soit \(\Omega\) le milieu du segment \([AG]\). Démontre que les points \(A\), \(B\), \(D\) et \(E\) sont sur une même sphère de centre \(\Omega\), dont tu donneras le rayon. Calcule la distance de \(\Omega\) au plan \((BDE)\) et compare-la à la distance de la question 3.
Une toile d'ombrage tendue entre quatre poteaux
Dans la cour d'une école, on tend une toile d'ombrage entre les sommets de quatre poteaux verticaux plantés aux coins d'un carré de 6 mètres de côté. L'espace est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), d'unité le mètre, dans lequel le sol est le plan contenant \(O\), \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\), et où \(\vec{k}\) est vertical. Les sommets des poteaux sont \(A(0\,;\,0\,;\,2)\), \(B(6\,;\,0\,;\,4)\), \(C(0\,;\,6\,;\,5)\) et \(D(6\,;\,6\,;\,7)\).
1) Démontre que le quadrilatère \(ABDC\) est un parallélogramme, puis calcule les longueurs \(AB\) et \(AC\) (valeurs exactes, puis arrondies au centimètre).
2) Calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\). La toile est-elle un rectangle ? Calcule la valeur exacte de \(\cos\widehat{BAC}\), puis une mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\) arrondie au dixième de degré.
3) Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\), puis l'aire de la toile.
4) On admet que l'angle \(\theta\) entre la toile et le sol est égal à l'angle entre le vecteur \(\vec{n}(-2\,;\,-3\,;\,6)\) et le vecteur \(\vec{k}\). Justifie que \(\vec{n}\) est normal au plan de la toile, calcule \(\cos\theta\) et donne \(\theta\) arrondi au degré. Vérifie que l'aire du carré au sol est égale à l'aire de la toile multipliée par \(\cos\theta\).
5) Une lampe est suspendue au point \(L(3\,;\,3\,;\,2)\). Par sécurité, elle doit rester à plus de 2 mètres de la toile. Calcule la distance de \(L\) au plan de la toile et conclus. Compare cette distance à l'écart vertical entre \(L\) et le centre de la toile.